Fragment Vanité n° 21 / 38 – Papiers originaux : RO 81-3 + 83-10

Copies manuscrites du XVIIe s. : C1 : Vanité n° 39 à 41 p. 81 et 91 / C2 : p. 21 et 22

Éditions de Port-Royal : Chap. XXV - Faiblesse de l’homme : 1669 et janv. 1670 p. 189-190 / 1678 n° 1 et 2 p. 185-186

Éditions savantes : Faugère II, 98, XIX / Havet III.1, 2 / Brunschvicg 374, 376 / Tourneur p. 171-6 / Le Guern 31 / Maeda I p. 155, 164 / Lafuma 33, 34 / Sellier 67, 68

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Si on est pyrrhonien, le pyrrhonisme est vrai.

Si on n’est pas pyrrhonien, le pyrrhonisme est vrai.

 

Les logiciens ont travaillé sur de tels dilemmes : voir l’exemple cité par Blanché Robert, Introduction à la logique contemporaine, p. 70-71 : s’il ne faut pas philosopher, alors il faut philosopher (ne serait-ce que pour prouver qu’il ne faut pas philosopher) ; donc il faut philosopher. Voir aussi Blanché, La logique et son histoire, p. 14 : Si rien n’est sûr, quelque chose est sûr ; donc quelque chose est sûr. L’expression symbolique de ce mode de raisonnement est

 

Cela correspond à ce que les logiciens et les géomètres ont appelé la conséquence merveilleuse, la consequentia mirabilis ou la loi de Clavius : voir Euclide, Éléments, IX, Proposition 12, éd. Vitrac, t. 2, p. 428. En note, rapprochement avec la loi de Clavius. Proposition 12 : « Si autant de nombres qu’on voudra sont successivement proportionnels à partir de l’unité, tous les nombres premiers qui mesurent le dernier mesurent aussi celui qui est le plus près de l’unité ». D’une proposition on tire sa négation. Le raisonnement consiste à partir de l’hypothèse que E ne mesure pas A, donc qu’ils sont premiers entre eux, pour aboutir à la conclusion que A et E ne sont pas premiers entre eux, donc qu’ils sont composés entre eux. Voir dans Itard Jean, Les livres arithmétiques d’Euclide, p. 174 sq., la restitution du raisonnement. Cette sorte de descente qui conclut de la négation d’une proposition à son affirmation a fait l’admiration de Clavius, de Tacquet et de Jacques Bernoulli (Œuvres, I, p. 230). Cardan, De proportione, Livre V, Prop. 20, p. 201, s’est vanté d’avoir été le premier à utiliser ce genre de preuve par l’absurde.

Le jésuite André Tacquet, que Pascal cite dans les Lettres de A. Dettonville, a consacré un texte à ce mode de raisonnement. Voir Tacquet André, Elementa geometriae planae ac solidae. Quibus accedunt selecta ex Archimede theoremata, Editio tertia..., Antverpiae, apud Jacobum Meursium, 1672, Appendix qua demonstratur ex falso posse directe deduci verum. Tacquet explique ce raisonnement par l’axiome suivant : ce qui détruit son contradictoire est nécessairement vrai ; or il détruit son contradictoire, ce qui suit directement de son contradictoire.

« Appendix qua demonstratur ex falso posse directe deduci verum. In thesibus mathematicis, quas Lovanii sesqui abhinc anno Illustr. D. Theodorus d’Imerselle, Comes de Boucque et S. Imperii, magna ingenii commendatione et auditorum plausu publice propugnavit, inter caeteras proposui assertionem hujusmodi : ex falsis posse verum directe elici novis exemplis Geometricis confirmamus. Hanc assertionem sibi oppugnandam suscepit vir Clarissimus Daniel Lipstorpius in appendice, quam operi suo pererudito, quod Specimina Philosophiae Cartesianae inscripsit, hac de causa adjunxit. Id vero ea modestia et humanitate praestitit, ut facile appareat, hoc illi unum fuisse propositum, ut veritatem assequeretur. Ne autem videar doctissimi viri judicium parvi facere, hic illi breviter respondebo, et appendici appendicem reponam.

Conclusionem igitur oppugnatam sic demonstro.

Datur assertio quae directe ex sua contradictoria inferatur. Talis in prop. 12. l. 9. Eucl. est haec : numerus E metitur numerum A, quae demonstratione affirmativa infertur ex sua contradictoria : E non metitur numerum A. Quod quidem est aeque certum, ac demonstrationem illam esse legitimam ? Talis in Elementis hisce nostris prop. 4. l. 11 est haec (Réf : Fig. 12. l. 11 tab. 5.) : Recta BQ non est perpendicularis plano CAF, quae affirmative deducitur ex sua contradictoiria (Réf. : Fig. 20. l. 5. tab. 3) : recta BQ est perpendicularis plano CAF. Talis in propositione nostra 35. l. 5. est haec : A est ad B, ut E ad Z, quae directe infertur ex sua contradictoria : A non est ad B, ut E ad Z. Tales denique reperiuntur apud Cardanum l. 5 de proport. p 201 aud Theodosium (commentante Clavio) l. 1. sph. p. 12. et nos plures similes possumus exhibere tum Geometricas tum alias.

Ecce tibi cosmographicam unam, quam in iisdem thesibus disputandam proposui. Maris, omnisq. adeo humidi superficies eo ipso concluditur esse sphaerica, quo id negas. Ponatur vera esse ejus contradictoria : Maris superficies sphaerica non esse. Quoniam igitur maris superficies sphaerica bon est, ergo omnes superficiei maritimae partes non distant aequaliter à centro. Ergo una est altior altera (altiorem enim esse non aliud est, quam longius à centro recedere.). Ergo eae quae altiores sunt, defluunt verius minus altas se decliviores, hanc enim esse humidi natura experientia constat. Ex tali autem defluxu necessario oritur omnium partium superficiei maritimae aequalis altitudo, seu distantia à centro. Aequalis vero omnium partium superficiei maritimae à centro distantia infert sphaericitatem ejus perfectam. Ergo maris superficies sphaerica est.

Habemus igitur hanc : Maris superficies sphaerica est, directe et affirmative deductam ex sua contradictoria, maris superficies sphaerica non est.

Maneat igitur extra omnem controversiam esse, dari assertiones, quae directe ex suis contradictoriis inferantur. Atqui assertio, quae ex sua contradictoria directe infertur, necessario vera est (cum sit axioma per se clarissimum, id necessario verum esse quod suum contradictorium destruit ; destruit autem suum contradictorium, quod ex suo contradictorio directe sequitur.). Ergo et assertionis contradictoria, ex qua videlicet deducta est assertio, falsa est. Ergo ex falso directe et affirmative deductum est verum. Demonstrata igitur est conclusio in thesibus proposita.

Quod vero ejusmodi demonstratio, qua assertio ex sua contradictoria falsa directe infertur, vere scientiam pariat, sic ut absque ulteriori ulla deductione ad impossibile, de assertionis veritate securi esse debeamus, ex jam dictis manifestum est, cum lumine naturae notissimum est, cum lumùine naturae notissimum sit ; id necessario verum esse, quod suum contradictorium destruit, hoc est quod ex suo contradictirio sequela legitima et necessaria infertur. Quod si verum deducatur es falso quopiam sibi non contradictorio, nequaquam talis ratiocinatio scientiam parit, neque enim de veritate assertionis sic deductae securi esse possumus, cum in ea ratio jam allata deficiat, et proprio falso sciamus esse, ut ex eo falsa deducantur.

His rite perceptis facile eruditus Lector perspiciet, nihil opus esse, ut singulis Clarisimi Viri objectionibus et argumentis refellendis immoremur, quae vel contra me nihil facint, vel ex jam dictis soluta intelligantur. Quia tamen nn omnibus ad manum erit opus clarissimi Viri, visum est singula breviter attingere.

Primum supponit ex Dialectica quaedam de consequentia directa ; et dicto (ut vocant) de omni et de nullo. Tum sententiam exponit suam nostrae oppositam. Subjungit deinde : hanc sententiam meam stabilio eversione omnium illorum, quae in contrarium afferri posse videntur.

Primum (inquit) quod ex falsis verum concludere videatur constituit hujusmodi syllogismus : omnis leo est lapis. Omnis adamas est leo. Ergo omnis adamas est lapis. In quo etc. Tali syllogismo ad probandam assertionem meam ego non utor, in quo videlicet verum deducitur ex falso non contradictorio, qui proinde etiam, ut ostendi supra, scientiam non parit. Primum istud igitur me non tangit.

Secundum genus objectionum (inquit) constituunt hypothses Astronomicae, etc. Quae licet fictitiae tantum sint et falsas tamen juxta eas calculum eclipsibus, et aliis observationibus caelestibus convenientem Astronomi exhibent. Deinde postquam multis contendit, hinc non probari verum ex falso directe elici, Progredior (inquit) ad tertiam instantiam, quam ex regula falsi depromere licet etc. contendique rursum hic non elici ex falso verum. Quo quidem in utroque, cum illi ego plane assentiar, neque ullum inde pro assertione mea argumentum petam, non me magis illa tangunt, quam primum.

Ultimas deinde objectiones (inquit) nobis facessunt, modi demonstrandi ab Euclide 9. elem p. 12. Cardano l. 5. de proport. p. 201, et Theodosio l. 1. sph. p. 12 adhibiti, quo me digitum intendisse putat, et vere. Ex his siquidem demonstrandi modis, evidenter jam demonstravi supra, ex falso elici directe verum ; neque affertur quidquam a Clarisimo Viro, quod demonstrationem nostram infirmet. Veris Clavii ad p. 12. lib. 9. recitatis, subjungit ex eodem clavio demonstrationem p. 12. l. 1. sph. Theodosii : Tum (inquit) ut verum fatear, nescio sane, quid clavio in mentem venerit, uti et cardano, quare insolitum hunc et mirabilem argumentandi modum esse putaverint, qui tamen Logicis valde familiaris est et duobus principiis omnium evidentissimis et natura notissimis nititur, hisce nempe : quod idem non possit simul esse et non esse ; item quodlibet aut sit aut non sit. Quid Clavio, Cardano, et cum istis aliisque etiam mihi, in hac argumentandi forma sit visum mirabile, dicere in promptu est ; hoc nimirum quod assertio probanda (G est centrum sphaerae) directe ex sua contradictoria (G non est centrum sphaerae) consequentiis legitimis ac necessariis deducatur. Quod quidem quotiescumque evenit, admiratione dignum est. Tantum vero abest, ut haec ratio demonstrandi Logicis valde familiaris sirn ut etiam non defuerint doctissimi viri, quibus ea impossibilis videretur. Ut deinde ostendat vir Clariss. hoc discursu verum ex falso non deduci, repetit demonstrationem propositionis Theodosianae sed forma plane diversa a Claviana illa, quam prius recitaverat, in qua vis argumentationis internos controversae clarissime cernitur. Subjungit denique : neque ego tam lynceus sum ut exinde videre queam, quo pacto ex falso verum directe sequatur. Illud tamen video, quod si G demonstretur non esse centrum sphaerae (vult, credo dicere, ponatur, cum demonstrari nequeat, quod falsum est) necessario sit admittenda contradictoria ejus affirmativa, quod sir centrum sphaerae. Ad haec verba repetam compendio demonstrationem superius datam, qua, opinor, fiet, ut V. C. tametsi, quod est maxime, lynceus non esset, clare perspiciat elici directe ex falso verum.

Quoniam admittit (id quod etiam eo non dante evinceret Claviana demonstratio) si G ponatur non esse centrum, sequi necessitate absoluta et formali G esse centrum ; manifestum est, G esse centrum, directe sequi ex sua contradictoria, G non esse centrum. Ergo ex vi deductionis constat verum esse quod G sit centrum, um lumine naturali notum sit id esse acessario verum, quod suum contradictorium destruit, hoc est quod ex suo contradictorio directe sequitur. Habemus igitur quid ex hac : (G non est centrum) directe deducta sit haec vera : (G est centrum). Atqui haec (G non esse centrum) falsa est, cum jam ostenderim veram esse hanc (G est centrum). Ergo verum directe deductum est ex falso.

Haec sunt, Erudite Lector, quae super hac quaestione breviter hic putavi apponenda. Caeterum nihil dubito quin Clarissimus Lipstorpius eadem animi aequitate responsionem hanc nostram sit accepturus, qua dedit oppugnationem suam, et ego illam accepi. »