Fragment Grandeur n° 5 / 14 – Papier original : RO 197-1
Copies manuscrites du XVIIe s. : C1 : Grandeur n° 146-147 p. 37 bis-37 bis v° / C2 : p. 57-58
Éditions de Port-Royal : Chap. XXXI - Pensées diverses : 1669 et janv. 1670 p. 324 / 1678 n° 5 p. 318-319
Éditions savantes : Faugère II, 107, XXVIII / Havet III.15 / Michaut 427 / Brunschvicg 392 / Tourneur p. 194-4 / Le Guern 100 / Lafuma 109 / Sellier 141
(voir aussi un texte mutilé écrit au verso)
____________________________________________________________________________________________
✧ Éclaircissements : Preuves par l’absurde
Il faut sans doute relier cela à la réflexion qui est conduite par les commentateurs d’Euclide sur la consequentia mirabilis, à partir d’Euclide, Éléments, IX, Proposition 12 : « si autant de nombres de nombres qu’on voudra sont successivement proportionnels à partir de l’unité, tous les nombres premiers qui mesurent le dernier mesurent aussi celui qui est le plus près de l’unité ». D’une proposition on tire sa négation. Le raisonnement consiste à partir de l’hypothèse que E ne mesure pas A, donc qu’ils sont premiers entre eux, pour aboutir à la conclusion que A et E ne sont pas premiers entre eux, donc qu’ils sont composés entre eux. Voir Blanché, La logique et son histoire, p. 14, et Introduction à la logique contemporaine, p. 70-71, sur la loi de Clavius : le modèle de ce raisonnement est : s’il ne faut pas philosopher, il faut philosopher ; donc il faut philosopher ; si rien n’est sûr, quelque chose est sûr, donc quelque chose est sûr. Formule : 
.
En d’autres termes, si même la négation d’une proposition aboutit à confirmer cette proposition, il faut tout de même bien croire qu’elle est vraie…
Clavius signale que Cardan, Livre 5 de proportione, proposition 201, se targue d’être le premier à utiliser ce genre de preuve par l’absurde ; voir Itard Jean, Les livres arithmétiques d’Euclide, p. 174-176.
Euclide, Euclidis Elementorum Libri XV. Accessit XVI de solidorum regularium cujuslibet intra quodlibet comparatione. Omnes perspicuis demonstrationibus, accuratisque scholiis illustrati, ac multarum rerum accessione locupletati. Nunc tertio editi..., summaque diligentia recogniti, atque emendati. Auctore Christophoro Clavio Bambergensi, e Societate Jesu, B. Ciotti, Coloniae, 1591. Liber nonus, Theor 12, Propos. 12, p. 67. Voir le Scholium, p. 68.
« Scholium. Est autem mirabilis prima hujus propos. demonstratio. Nam in ea Euclides ex eo, quod E, dicatur non metiri ipsum A, ostendit demonstratione affirmativa E, ipsum A, metiri : quod videtur fieri non posse. Nam si quis demonstrare instituat, Socratem esse album, ex eo, quod non est albus, paradoxum aliquid, et inopinatum in medium vidatur afferre : Cui tamen non ab simile quid factum his est in numeris ab Euclide, et in aliis nonnullis propositionibus, quae sequuntur. Cardanu quoque simile quid effecit in magnitudinibus, lib. 5 de proport. propos. 201. gloriaturque se primum omnium hanc rationem demonstrandi reprerisse : quod arbitror eum non dicturum fuisse, si diligentius vim hujus demonstrationis expendisset, vel certe, si expendit, ea in memoriam revocasset ; quandoquidem ipso longe prior Euclides usus est hoc etiam demonstrandi modo, ut ex hoc theor. 12 ; est manifestum. Eodem genere demonstrandi usus est Theodosius lib. I. Sphaericorum, propos. 12. ut ibid. monuimus.
Caeterum ex demonstratis perspicuum est, quemcumq. numerum primum, qui ultimum metitur, metiri etiam omnes alios ante ipsum (Réf. : a. 12 noni). Cum enim metiatur proximum unitati ; hic autem omnes subsequestes, (Réf. : b. 11 noni) quod semper minor majorem metiatur per aliquem eorum, qui in proportionalibus sunt numeris ; (Réf.: c. 11 non.) manifestum est, quod et elle omnes metiatur ».
Tacquet André, Elementa geometriae planae ac solidae. Quibus accedunt selecta ex Archimede theoremata, Editio tertia..., Antverpiae, apud Jacobum Meursium, 1672.
« Appendix qua demonstratur ex falso posse directe deduci verum. In thesibus mathematicis, quas Lovanii sesqui abhinc anno Illustr. D. Theodorus d’Imerselle, Comes de Boucue et S. Imperii, magna ingenii commendatione et auditorum plausu publice propugnavit, inter caeteras proposui assertionem hujusmodi : ex falsis posse verum directe elici novis exemplis Geometricis confirmamus. Hanc assertionem sibi oppugnandam suscepit vir Clarissimus Daniel Lipstorpius in appendice, quam operi suo pererudito, quod Specimina Philosophiae Cartesianae inscripsit, hac de causa adjunxit. Id vero ea modestia et humanitate praestitit, ut facile appareat, hoc illi unum fuisse propositum, ut veritatem assequeretur. Ne autem videar doctissimi viri judicium parvi facere, hic illi breviter respondebo, et appendici appendicem reponam.
Conclusionem igitur oppugnatam sic demonstro.
Datur assertio quae directe ex sua contradictoria inferatur. Talis in prop. 12. l. 9. Eucl. est haec : numerus E metitur numerum A, quae demonstratione affirmativa infertur ex sua contradictoria : E non metitur numerum A. Quod quidem est aeque certum, ac demonstrationem illam esse legitimam ? Talis in Elementis hisce nostris prop. 4. l. 11 est haec (Réf. : Fig. 12. l. 11 tab. 5.) : Recta BQ non est perpendicularis plano CAF, quae affirmative deducitur ex sua contradictoiria (Réf. : Fig. 20. l. 5. tab. 3) : recta BQ est perpendicularis plano CAF. Talis in propositione nostra 35. l. 5. est haec : A est ad B, ut E ad Z, quae directe infertur ex sua contradictoria : A non est ad B, ut E ad Z. Tales denique reperiuntur apud Cardanum l. 5 de proport. p 201 aud Theodosium (commentante Clavio) l. 1. sph. p. 12. et nos plures similes possumus exhibere tum Geometricas tum alias.
Ecce tibi cosmographicam unam, quam in iisdem thesibus disputandam proposui. Maris, omnisq. adeo humidi superficies eo ipso concluditur esse sphaerica, quo id negas. Ponatur vera esse ejus contradictoria : Maris superficies sphaerica non esse. Quoniam igitur maris superficies sphaerica bon est, ergo omnes superficiei maritimae partes non distant aequaliter à centro. Ergo una est altior altera (altiorem enim esse non aliud est, quam longius à centro recedere.). Ergo eae quae altiores sunt, defluunt verius minus altas se decliviores, hanc enim esse humidi natura experientia constat. Ex tali autem defluxu necessario oritur omnium partium superficiei maritimae aequalis altitudo, seu distantia à centro. AEqualis vero omnium partium superficiei maritimae à centro distantia infert sphaericitatem ejus perfectam. Ergo maris superficies sphaerica est.
Habemus igitur hanc : Maris superficies sphaerica est, directe et affirmative deductam ex sua contradictoria, maris superficies sphaerica non est.
Maneat igitur extra omnem controversiam esse, dari assertiones, quae directe ex suis contradictoriis inferantur. Atqui assertio, quae ex sua contradictoria directe infertur, necessario vera est (cum sit axioma per se clarissimum, id necessario verum esse quod suum contradictorium destruit ; destruit autem suum contradictorium, quod ex suo contradictorio directe sequitur.). Ergo et assertionis contradictoria, ex qua videlicet deducta est assertio, falsa est. Ergo ex falso directe et affirmative deductum est verum. Demonstrata igitur est conclusio in thesibus proposita.
Quod vero ejusmodi demonstratio, qua assertio ex sua contradictoria falsa directe infertur, vere scientiam pariat, sic ut absque ulteriori ulla deductione ad impossibile, de assertionis veritate securi esse debeamus, ex jam dictis manifestum est, cum lumine naturae notissimum est, cum lumùine naturae notissimum sit ; id necessario verum esse, quod suum contradictorium destruit, hoc est quod ex suo contradictirio sequela legitima et necessaria infertur. Quod si verum deducatur es falso quopiam sibi non contradictorio, nequaquam talis ratiocinatio scientiam parit, neque enim de veritate assertionis sic deductae securi esse possumus, cum in ea ratio jam allata deficiat, et proprio falso sciamus esse, ut ex eo falsa deducantur.
His rite perceptis facile eruditus Lector perspiciet, nihil opus esse, ut singulis Clarisimi Viri objectionibus et argumentis refellendis immoremur, quae vel contra me nihil facint, vel ex jam dictis soluta intelligantur. Quia tamen non omnibus ad manum erit opus clarissimi Viri, visum est singula breviter attingere.
Primum supponit ex Dialectica quaedam de consequentia directa ; et dicto (ut vocant) de omni et de nullo. Tum snetentiam exponit suam nostrae oppositam. Subjungit deinde : hanc sententiam meam stabilio eversione omnium illorum, quae in contrarium afferri posse videntur.
Primum (inquit) quod ex falsis verum concludere videatur constituit hujusmodi syllogismus : omnis leo est lapis. Omnis adamas est leo. Ergo omnis adamas est lapis. In quo etc. Tali syllogismo ad probandam assertionem meam ego non utor, in quo videlicet verum deducitur ex falso non contradictorio, qui proinde etiam, ut ostendi supra, scientiam non parit. Primum istud igitur me non tangit.
Secundum genus objectionum (inquit) constituunt hypotheses Astronomicae, etc. Quae licet fictitiae tantum sint et falsas tamen juxta eas calculum eclipsibus, et aliis observationibus caelestibus convenientem Astronomi exhibent. Deinde postquam multis contendit, hinc non probari verum ex falso directe elici, Progredior (inquit) ad tertiam instantiam, quam ex regula falsi depromere licet etc. contendique rursum hic non elici ex falso verum. Quo quidem in utroque, cum illi ego plane assentiar, neque ullum inde pro assertione mea argumentum petam, non me magis illa tangunt, quam primum.
Ultimas deinde objectiones (inquit) nobis facessunt, modi demonstrandi ab Euclide 9. elem p. 12. Cardano l. 5. de proport. p. 201, et Theodosio l. 1. sph. p. 12 adhibiti, quo me digitum intendisse putat, et vere. Ex his siquidem demonstrandi modis, evidenter jam demonstravi supra, ex falso elici directe verum ; neque affertur quidquam a Clarisimo Viro, quod demonstrationem nostram infirmet. Veris Clavii ad p. 12. lib. 9. recitatis, subjungit ex eodem clavio demonstrationem p. 12. l. 1. sph. Theodosii : Tum (inquit) ut verum fatear, nescio sane, quid clavio in mentem venerit, uti et cardano, quare insolitum hunc et mirabilem argumentandi modum esse putaverint, qui tamen Logicis valde familiaris est et duobus principiis omnium evidentissimis et natura notissimis nititur, hisce nempe : quod idem non possit simul esse et non esse ; item quodlibet aut sit aut non sit. Quid Clavio, Cardano, et cum istis aliisque etiam mihi, in hac argumentandi forma sit visum mirabile, dicere in promptu est ; hoc nimirum quod assertio probanda (G est centrum sphaerae) directe ex sua contradictiria (G non est centrum sphaerae) consequentiis legitimis ac necessariis deducatur. Quod quidem quotiescumque evenit, admiratione dignum est. Tantum vero abest, ut haec ratio demonstrandi Logicis valde familiaris sirn ut etiam non defuerint doctissimi viri, quibus ea impossibilis videretur. Ut deinde ostendat vir Clariss. hoc discursu verum ex falso non deduci, repetit demonstrationem propositionis Theodosianae sed forma plane diversa a Claviana illa, quam prius recitaverat, in qua vis argumentationis internos controversae clarissime cernitur. Subjungit denique : neque ego tam lynceus sum ut exinde videre queam, quo pacto ex falso verum directe sequatur. Illud tamen video, quod si G demonstretur non esse centrum sphaerae (vult, credo dicere, ponatur, cum demonstrari nequeat, quod falsum est) necessario sit admittenda contradictoria ejus affirmativa, quod sir centrum sphaerae. Ad haec verba repetam compendio demonstrationem superius datam, qua, opinor, fiet, ut V. C. tametsi, quod est maxime, lynceus non esset, clare perspiciat elici directe ex falso verum.
Quoniam admittit (id quod etiam eo non dante evinceret Claviana demonstratio) si G pontaur non esse centrum, siqi necessitate absoluta et formali G esse centrum ; manifestum est, G esse centrum, directe sequi ex sua contradictoria, G non esse centrum. Ergo ex vi deductionis constat verum esse quod G sit centrum, um lumine naturali notum sit id esse acessario verum, quod suum contradictorium destruit, hoc est quod ex suo contradictorio directe sequitur. Habemus igitur quid ex hac : (G non est centrum) directe deducta sit haec vera : (G est centrum). Atqui haec (G non esse centrum) falsa est, cum jam ostenderim veram esse hanc (G est centrum). Ergo verum directe deductum est ex falso.
Haec sunt, Erudite Lector, quae super hac quaestione breviter hic putavi apponenda. Caeterum nihil dubito uin Clarissimus Lipstorpius eadem animi aequitate responsionem hanc nostram sit accepturus, qua dedit oppugnationem suam, et ego illam accepi. »
