Pensées de Blaise Pascal

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Pensées diverses III – Fragment n° 35 / 85 – Papier original : RO 425-3

Copies manuscrites du XVII^e s. : C₁ : n° 125 p. 373 / C₂ : p. 329 v°

Éditions savantes : Faugère II, 170 note / Brunschvicg 232 / Tourneur p. 102-1 / Le Guern 576 / Lafuma 682 (série XXV) / Sellier 561

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Bibliographie ✍

COSTABEL Pierre, Démarches originales de Descartes savant, Paris, Vrin, 1982.

DUHEM Pierre, Les Origines de la Statique, 2 vol., Hermann, Paris, 1905-1906.

POULET Georges, Les métamorphoses du cercle, Paris, Plon, 1961.

SERRES Michel, Le système de Leibniz et ses modèles mathématiques, Paris, Presses Universitaires de France, 1968.

✧ Éclaircissements

Mouvement infini.

Le mouvement infini, le point qui remplit tout,

Il s’agit ici d’un paradoxe semblable à ceux que Pascal invoque dans le fragment A P. R. 2 (Laf. 149, Sel. 182). Tout ce qui est incompréhensible ne laisse pas d’être. Le nombre infini, un espace infini égal au fini.

Preuves par discours I (Laf. 420, Sel. 680). Croyez-vous qu’il soit impossible que Dieu soit infini, sans parties ? Oui. Je vous veux donc faire voir une chose infinie et indivisible : c’est un point se mouvant partout d’une vitesse infinie. Car il est un en tous lieux et est tout entier en chaque endroit. Que cet effet de nature qui vous semblait impossible auparavant vous fasse connaître qu’il peut y en avoir d’autres que vous ne connaissez pas encore. Ne tirez pas cette conséquence de votre apprentissage, qu’il ne vous reste rien à savoir, mais qu’il vous reste infiniment à savoir.

Le point, qui est un néant d’espace, ne peut en principe remplir par son mouvement un espace plan, ni un espace à trois dimensions, ni en général un espace dont le nombre de dimensions est quelconque (comme Pascal l’envisage dans les Lettres de A. Dettonville, Traité des trilignes). Voir De l’esprit géométrique, OC III, éd. J. Mesnard, p. 410 : le point indivisible est « un véritable zéro d’étendue », de sorte que « les indivisibles d’étendue ne peuvent jamais faire une étendue ».

Cependant, si l’on ne considère pas le point comme quantité susceptible de sommation, mais comme point susceptible, dans son mouvement, d’engendrer une ligne, on rencontre un paradoxe.

Pascal y fait allusion dans le fragment Preuves par discours I (Laf. 420, Sel. 680) : un point se mouvant partout d’une vitesse infinie est en tous lieux et est tout entier en chaque endroit. Autrement dit, si le point est mû à une vitesse infinie, son mouvement ne dépend plus de la durée, et il remplit l’espace à une, deux ou trois dimensions.

Pascal n’est pas le seul qui ait envisagé ce paradoxe. Voir sur ce point Costabel Pierre, Démarches originales de Descartes savant, Paris, Vrin, 1982, p. 82. Lettre de Descartes à Mersenne du 16 octobre 1639, contre une expression fâcheuse de Mydorge, AT II, p. 592-593 : « je puis seulement dire qu’il implique contradiction qu’il y ait une vitesse infinie dans la nature, si ce n’est qu’à l’imitation des pensées de M. Desargues touchant les coniques on dise que la ligne AB sans mouvement est la même chose qu’un point mû d’une vitesse infinie d’A jusques à B, car si la vitesse est infinie, ce point se trouvera au même instant en toute la ligne et ainsi la composera ». Cette lettre nous apprend d’où Pascal a pu obtenir l’idée du point qui remplit tout : c’est sans doute de Desargues qu’il l’a entendue.

Desargues a du reste sans doute eu connaissance de l’objection faite par Descartes sur l’impossibilité d’un mouvement infini dans la nature. La question a été discutée au cours du colloque Méthodes chez Pascal, Paris, Presses Universitaires de France, 1979, après la communication de Miel Jan, “Les méthodes de Pascal et l’épistémè classique”, Méthodes chez Pascal, p. 33 sq., au terme de laquelle les interlocuteurs s’accordent sur le fait que « ce point ne se trouve pas dans la nature ». P. Costabel en conclut que « pour Pascal, cette conception du point qui a une vitesse infinie appartient à la nature, c’est-à-dire que ce que nous avons dans notre esprit, nos constructions, notre discours rationnel fait lui aussi partie de la nature ». Noter que ni P. Costabel ni J. Miel ne remarquent que, dans ce fragment, nature s’oppose à surnature, et que dans ce sens, il n’y a rien d’absurde à parler d’un effet de nature.

Desargues a répondu de la manière suivante dans son Brouillon projet de 1639 (voir Taton René, L’œuvre mathématique de G. Desargues, Paris, Vrin, 1981, p. 179) : « En géométrie on ne raisonne point des quantités avec cette distinction, qu’elles existent ou bien effectivement en acte, ou bien seulement en puissance, ni du général de la nature avec cette décision, qu’il n’y ait rien en elle, que l’entendement ne comprenne. À propos de la droite infinie, l’entendement se sent vaguer en l’espace duquel il ne sait pas d’abord s’il continue toujours, ou s’il cesse de continuer en quelque endroit. Afin de s’en éclaircir, il raisonne par exemple en cette façon : ou bien l’espace continue toujours, ou bien il cesse de continuer en quelque endroit ; s’il cesse de continuer en quelque endroit, ou que ce puisse être, l’imagination y peut aller en temps. Or jamais l’imagination ne peut aller en aucun endroit de l’espace, auquel cet espace cesse de continuer ; donc l’espace et conséquemment la droite continuent toujours ».

Noter que Pascal ne dit pas qu’un point qui remplit tout a une existence concrète dans la nature. Il donne dans le fragment précédent une image qui suppose même le contraire, en tout cas lorsque la vitesse de ce point est finie : voir Laf. 681, Sel. 560, Je n’admire point l’excès d’une vertu comme de la valeur si je ne vois en même temps l’excès de la vertu opposée : comme en Épaminondas qui avait l’extrême valeur et l’extrême bénignité, car autrement ce n’est pas monter c’est tomber. On ne montre pas sa grandeur pour être à une extrémité, mais bien en touchant les deux à la fois et remplissant tout l’entre-deux. Mais peut-être que ce n’est qu’un soudain mouvement de l’âme de l’un à l’autre de ces extrêmes et qu’elle n’est jamais en effet qu’en un point, comme le tison de feu. Soit ; mais au moins cela marque l’agilité de l’âme si cela n’en marque l’étendue. Lorsque le mouvement n’a qu’une grandeur finie, la continuité de la trace du tison est purement illusoire. Mais il en va autrement si l’on suppose qu’un mouvement peut avoir une vitesse infinie.

D’un point de vue qui n’enferme pas la considération du mouvement, le paradoxe envisagé par Pascal trouve peut-être un écho dans les courbes de remplissage qui ont été inventées à la fin du XIX^e siècle et au début du XX^e (sans pourtant qu’il y soit question de mouvement). Une courbe de Peano ou courbe remplissant l’espace est un type de fonction continue qui passe par chaque point du carré. Ces courbes sont des fractales : bien que formées d’une simple ligne, elles sont de dimension 2. Ce type de courbe est nommée courbe de Peano en l’honneur de celui qui fut le premier à la décrire. On en trouve une explication relativement accessible dans Couturat Louis, Les principes des mathématiques, Paris, Blanchard, 1980 (rééd.), p. 129 sq. Voir aussi une présentation intuitive des courbes de remplissage dans Kassner Edward et Newman James, Mathématiques et imagination, p. 241.

le mouvement en repos.

Cette formule pose un difficile problème d’interprétation en raison des différentes manières dont elle a été lue sur le manuscrit. Voir les transcriptions diplomatique et savante, ainsi que les Copies.

Poulet Georges, Les métamorphoses du cercle, Paris, Plon, 1961, p. 67. Renvoie à Yves de Paris, Morales chrétiennes, t. I, 3^e éd. Paris, 305 :

« Le mouvement approche d’autant plus du repos qu’il est plus vite, et si l’on donnait un mouvement infini, ce serait un parfait repos, parce qu’il devancerait cette succession de parties qui viennent à la file dans les mouvements ordinaires ».

On a proposé plusieurs lectures de ce passage.

On peut écarter la transcription de M. Le Guern, qui lit le mouvement est repos.

La transcription de L. Lafuma est plus proche du vocabulaire de l’époque : le moment de repos. Elle tombe sous le coup de deux difficultés, l’une relative au mot de, l’autre au mot moment. Or le manuscrit ne permet pas d’admettre cette leçon.

En revanche, plusieurs commentaires ont suivi la leçon moment, et en ont tiré des interprétations ingénieuses.

♦ Notion de moment

De fait, à l’époque de Pascal, le sens du mot moment n’est pas fixé comme il l’est en mécanique aujourd’hui. Le sens premier du mot moment est celui de poussée, d’impulsion. En latin, il signifie influence, poids, importance (nullius momenti). Pendant le Moyen Âge, une idée d’infinité en petitesse s’ajoute, par exemple chez Isidore de Séville. C’est seulement vers le XV^e siècle qu’est établie l’équivalence entre le grec ropè et le latin momentum. Les emplois de ropè désignent deux réalités mal distinguées : la poussée “naturelle” qu’exerce un corps par son poids ; la poussée variable, dépendant de sa position, surtout selon l’éloignement d’un centre d’équilibre.

Duhem Pierre, Les Origines de la Statique, 2 vol., Hermann, Paris, 1905-1906. Voir t. I, p. 25, Léonard de Vinci et le moment d’une force par rapport à un axe. Voir p. 230 sq. Notion de moment chez Benedetti. Généralisation pour une force quelconque : « lorsqu’on voudra comparer les unes aux autres, les grandeurs qui mesurent les effets des poids ou de puissances motrices, on déterminera chacune d’elles au moyen de la perpendiculaire abaissée du centre du levier sur la direction de la force ».

Mais on commence à bien distinguer pondus et momentum. Dans les Mécaniques, Galilée donne une définition claire : « le momento est la propension à aller vers le bas, occasionnée non tant par la gravité du mobile, que par la disposition qu’ont entre eux divers corps graves ; moyennant ce momento, on verra souvent un corps moins grave faire contrepoids à un autre de gravité plus grande » (Opere, II, p. 159). Le moment est d’abord défini non pas comme la modification de la pesanteur par le bras de levier, mais le produit de la pesanteur par la vitesse : momentum désigne une poussée plus ou moins grande, qui se reproduit dans les instants successifs, et dont les facteurs successifs s’accumulent. Il peut toujours s’évaluer par le produit poids-vitesse, à condition de parler de vitesses virtuelles pour la balance. La notion demeure confuse, car elle met dans le même sac le momentum mécanique et le momentum du mouvement de chute.

Le sens évolue progressivement jusqu’au sens actuel. L’idée en est nettement mise au point par Stevin. Voir Sandori Paul, Petite Logique des forces. Constructions et machines, Seuil, Paris, 1983, p. 39. Le produit de la grandeur de la force par le bras de levier est appelé moment de la force. Le levier est équilibré sur son pivot lorsque les moments des deux charges sont égaux et opposés. La somme totale des moments agissant sur un corps est le moment résultant. Le levier est en équilibre lorsque le moment résultant par rapport au pivot est nul : p. 41.

Petite Encyclopédie des mathématiques, p. 514 sq. Définition du moment statique, et traitement par le calcul différentiel et intégral.

Voir la note de l’éd. Chevalier, Lecoffre, 1925, t. 1, p. 257, qui propose la lecture le moment de repos ; on trouve dans l’édition Chevalier de la Pléiade, pour expliquer le fragment 445, p. 1211, la même note, p. 1508 : « le moment, dans la langue de Galilée et de Pascal, désigne le poids d’un corps eu égard à sa situation particulière et comme le poids, il se mesure, d’après Galilée, par une vitesse. De ce texte il ressort donc que, pour Pascal, un point animé d’une vitesse infinie est comme une masse infinie au repos ».

Serres Michel, Le système de Leibniz et ses modèles mathématiques, p. 699, reprend aussi l’expression moment de repos, et aboutit à la même interprétation.

En réalité, nulle part dans son œuvre scientifique Pascal n’utilise le terme technique de moment (en français ou dans le latin momentum) dans le sens de la mécanique. Les Lettres de A. Dettonville montrent que Pascal ne mesurerait pas le « moment » par une vitesse. Il a bien recours à la notion de moment, telle qu’elle s’est établie dans son dernier état, mais il emploie une expression toute différente : il parle par exemple d’une « ligne multipliée par son bras sur la base », qu’il entend au sens de ligne multipliée par sa distance au centre de gravité. En tout cas il n’a donc aucune raison d’employer dans les Pensées un mot technique de la mécanique géométrique, qu’il n’emploie nulle part ailleurs, et que des lecteurs du monde n’auraient certainement pas compris.

La lecture des Copies est mouvement en repos. GEF VIII, p. 141, après avoir noté que les Copies lisent mouvement en repos, indique que « si un point se meut avec une vitesse infinie, il remplit tout et son mouvement qui est infini et qui pourtant demeure indivisible équivaut au repos ».

Serres Michel, Le système de Leibniz et ses modèles mathématiques, p. 699. Sur le paradoxe de Nicolas de Cuse, sur le corps qui se meut d’une vitesse infinie sur une trajectoire circulaire. La vitesse infinie d’un point est considérée comme immobilisation de tous les points du cercle au même endroit.

Ce paradoxe est lié au précédent. On peut renvoyer à la critique par Descartes d’une expression de Mydorge. Voir Costabel Pierre, Descartes savant, p. 82. Lettre de Descartes à Mersenne du 16 octobre 1639, contre une expression fâcheuse de Mydorge, AT II, p. 592-593 : « Je puis seulement dire qu’il implique contradiction qu’il y ait une vitesse infinie dans la nature, si ce n’est qu’à l’imitation des pensées de M. Desargues touchant les coniques on dise que la ligne AB sans mouvement est la même chose qu’un point mû d’une vitesse infinie d’A jusques à B, car si la vitesse est infinie, ce point se trouvera au même instant en toute la ligne et ainsi la composera ». Costabel poursuit : « on sait que Pascal reprendra plus tard dans une de ses Pensées le même paradoxe - probablement inspiré lui aussi par Desargues. »

Pascal revient donc à un paradoxe qu’il a formulé ailleurs dans les Pensées :

M. Le Guern considère que, dans ce passage, Pascal répond brièvement à une objection de Sextus Empiricus que rapporte Charron dans Les trois vérités, I, X : « S’il y avait un Dieu, il serait infini : et par ainsi il ne se pourrait remuer d’un lieu dans un autre ». Charron répondait : « Il est infini, et n’est point mû ni sujet à mouvement. S’il l’était, il serait imparfait et non infini. » Voir saint Augustin, lettre 117 à Dioscore, 24 : « Cicéron reproche à ce philosophe (Anaxagore) de n’avoir pas vu qu’il est impossible que dans une chose infinie, il se fasse un mouvement qui porte du sentiment partout, par le moyen de la continuité des parties ». Pour Pascal, Dieu serait à la fois infini et indivisible, mouvement et repos. Peut-être aussi pense-t-il à Nicolas de Cuse, De la docte ignorance, livre I, cap. XXIII. « Puisque le maximum est comme une sphère infiniment grande, nous voyons clairement comment il est la mesure absolument simple et adéquate de tout ce que l’univers contient. Dieu est donc la définition unique, absolument simple, de l’univers entier... Il est le repos absolu, en lequel tout mouvement est repos, et ce repos absolu est la mesure de tout mouvement, comme la rectitude absolue est la mesure de toute circonférence, et comme le présent le plus grand, c’est-à-dire l’éternité, est la mesure de tout temps ». Cette dernière citation justifie mieux que les précédentes la lecture qu’il fait du passage, le mouvement est repos. Cependant cette interprétation n’est pas recevable : il n’est pas question de Dieu dans le présent fragment.

On aurait pu citer dans le même sens le passage de Silhon Jean de, De l’immortalité de l’âme, Paris, Pierre Billaine, 1634, Livre II, Discours II, Où il est montré que la matière première ne tient pas son être d’elle-même, et que le principe dont elle l’a reçu est une intelligence, p. 337 sq. L’être spirituel « est un être simple, et sans quantité, qui occupe et remplit de telle sorte un certain espace qu’il est tout en tout, et tout en chaque partie de cet espace. »

♦ Discussions des points précédents

Spinoza, Principes de la philosophie de Descartes, in Œuvres, Pléiade, p. 204 sq. Doctrine de Zénon : le mouvement d’un corps mû circulairement avec la plus grande vitesse ne diffèrerait pas du repos, s’il existait un mouvement dans l’espace. Spinoza trouve cette conséquence absurde : p. 204. Le point sur une roue qui demeure en même lieu ; et tous les points sont alors constamment dans un même lieu : p. 205. Réponse : l’argument porte plutôt contre l’hypothèse d’une vitesse telle qu’il ne puisse y en avoir de plus grande : p. 205. Même chose pour la lenteur : p. 206. Spinoza a montré plus haut qu’une même partie de la matière ne peut occuper en même temps deux espaces : p. 207.

Ces spéculations ont fait pousser à Voltaire des cris d’orfraie.

Voltaire, Le philosophe ignorant, XXV, « Absurdités », in Mélanges, éd. Pléiade, p. 883. Cite les § 1-2, puis : « un point mathématique qui se meut ! Juste ciel ! Un point qui n’existe que dans la tête du géomètre, qui est partout et en même temps, et qui a une vitesse infinie, comme si la vitesse infinie actuelle pouvait exister ! Chaque mot est une folie, et c’est un grand homme qui a dit ces folies ! » L’objection est incohérente : c’est justement parce que le point à vitesse infinie n’existe que dans la tête du géomètre qu’il peut avoir une vitesse infinie actuelle. Noter que l’idée du point mathématique qui se meut n’est pas si absurde que Voltaire veut bien le dire ; il devrait le savoir, puisqu’il connaît la méthode des fluxions de Newton.

Infini sans quantité, indivisible et infini.

Preuves par discours I (Laf. 420, Sel. 680) : Croyez-vous qu’il soit impossible que Dieu soit infini, sans parties ? Oui. Je vous veux donc faire voir une chose infinie et indivisible. C’est un point se mouvant partout d’une vitesse infinie. Car il est un en tous lieux et est tout entier en chaque endroit.

Un point sépare ces mots du reste du texte. Il n’y a donc pas nécessairement lieu d’associer infini à mouvement.

Prise comme un ensemble, l’expression peut signifier : un infini est non quantitatif, c’est-à-dire qu’il est à la fois indivisible et infini. De ce fait, l’infini ne peut être pensé comme divisible, car s’il l’était, il serait susceptible de division, donc mesurable. Il s’agit évidemment d’un effet de nature, mais non de Dieu lui-même.