Dossier thématique : L’infini
Ce dossier sur l’infini doit être lu en rapport avec les fragments suivants :
Transition 4 (Laf. 199, Sel. 230). Disproportion de l’homme.
Preuves par discours I (Laf. 418, Sel. 680). Appelé communément Infini rien.
♦ L’infini
L’infini apparaît chez Pascal dans les œuvres de géométrie (les écrits sur les coniques et les Lettres de A. Dettonville sur la roulette), mais aussi dans les Pensées (Transition 4 - Laf. 199, Sel. 230), Disproportion de l’homme ; Preuves de Jésus-Christ 11 (Laf. 308, Sel. 339) sur les trois ordres, et dans Preuves par discours I (Laf. 418, Sel. 680) sur l’argument du pari, pour ne citer que les plus célèbres). Dans chacun de ces textes, il reçoit un traitement différent.
Sur les coniques, il faut se reporter à l’étude de Taton René, “L’œuvre de Pascal en géométrie projective” in L’œuvre scientifique de Pascal, Centre International de synthèse, Paris, P. U. F., 1964, p. 17-72. Voir aussi Le Goff Jean-Pierre, “De la perspective à l’infini géométrique”, in Les infinis, Pour la science, n° 278, décembre 2000, p. 66-72.
Sur la doctrine des indivisibles mise en œuvre dans les Lettres de A. Dettonville, voir Costabel Pierre, “Essais sur les secrets des Traités de la roulette”, in L’œuvre scientifique de Pascal, Centre International de synthèse, p. 168-206 ; Merker Claude, Le chant du cygne des indivisibles. Le calcul intégral dans la dernière œuvre scientifique de Pascal, 2001 ; Descotes Dominique, Blaise Pascal. Littérature et géométrie, 2001.
Sur l’opuscule De l’esprit géométrique, voir l’introduction de J. Mesnard dans les Œuvres complètes de Pascal, III, Paris, Desclée de Brouwer, 1991, p. 376-387, et Gardies Jean-Louis, Pascal entre Eudoxe et Cantor, Paris, Vrin, 1984.
Pascal n’utilise pas le symbole ¥, qui semble dû à John Wallis ; voir son De sectionibus conicis, Opera mathematica, I, p. 297 sq.
Depuis l’Antiquité, on distingue deux sens du mot infini, selon qu’on l’entend de l’infini en acte, ou actuel, ou de l’infini en puissance, ou virtuel. Voir sur ce point Gilbert Thérèse et Rouche Nicolas, La notion d’infini, p. 15 sq.
On distingue aussi l’infini catégorique (ou catégorématique) et l’infini syncatégorique (ou syncatégorématique). Voir Lalande, Vocabulaire..., p. 124.
♦ Infini potentiel
L’infini potentiel est une grandeur qui reste toujours finie, mais si énorme à notre égard qu’elle paraît infinie.
Voir Heath Thomas, Mathematics in Aristotle, Bristol, Thoemmes Press, 1998, p. 102 sq. Dans notre pensée l’accroissement ne s’arrête jamais : il n’y a pas de nombre assignable, si grand soit-il, auquel on ne puisse ajouter l’unité, ni d’espace si grand auquel on ne puisse en pensée ajouter une longueur donnée : p. 104. L’infini virtuel ou en puissance est donc ce au-delà duquel il y a toujours quelque chose.
Martinez Javier de Lorenzo, “Les mathématiques, science de l’infini”, in Les infinis, Pour la science, n° 278, décembre 2000, p. 24-29. L’infini potentiel est lié à la faculté de l’esprit d’aller toujours plus loin, dans la suite des successeurs d’un nombre entier naturel.
C’est ce que Pascal montre dans l’opuscule De l’esprit géométrique, § 22-23, OC III, éd. J. Mesnard, p. 402, où il fait voir comment le temps, l’espace, le mouvement et les nombres sont infinis en ce sens, par le fait que l’on peut toujours ajouter une unité à un nombre, un pas à une distance aussi grande qu’on voudra, ou un instant à une durée si longue soit-elle.
§ 22. « [...] Ainsi il y a des propriétés communes à toutes choses, dont la connaissance ouvre l’esprit aux plus grandes merveilles de la nature.
23. La principale comprend les deux infinités qui se rencontrent dans toutes : l’une de grandeur, l’autre de petitesse.
Car quelque prompt que soit un mouvement, on peut en concevoir un qui le soit davantage, et hâter encore ce dernier ; et ainsi toujours à l’infini, sans jamais arriver à un qui le soit de telle sorte qu’on ne puisse plus y ajouter. Et au contraire, quelque lent que soit un mouvement, on peut le retarder davantage, et encore ce dernier ; et ainsi à l’infini, sans jamais arriver à un tel degré de lenteur qu’on ne puisse encore en descendre à une infinité d’autres, sans tomber dans le repos.
De même, quelque grand que soit un nombre, on peut en concevoir un plus grand, et encore un qui surpasse le dernier ; et ainsi à l’infini, sans jamais arriver à un qui ne puisse plus être augmenté. Et au contraire, quelque petit que soit un nombre, comme le centième ou la dix millième partie, on peut encore en concevoir un moindre, et toujours à l’infini, sans arriver au zéro ou néant.
De même, quelque grand que soit un espace, on peut en concevoir un plus grand, et encore un qui le soit davantage ; et ainsi à l’infini, sans jamais arriver à un qui ne puisse plus être augmenté. Et au contraire, quelque petit que soit un espace, on peut encore en considérer un moindre, et toujours à l’infini, sans jamais arriver à un indivisible qui n’ait plus aucune étendue.
Il en est de même du temps. On peut toujours en concevoir un plus grand sans dernier, et un moindre, sans arriver à un instant et à un pur néant de durée.
C’est à dire, en un mot, que quelque mouvement, quelque nombre, quelque espace, quelque temps que ce soit, il y en a toujours un plus grand et un moindre : de sorte qu’ils se soutiennent tous entre le néant et l’infini, étant toujours infiniment éloignés de ces extrêmes. »
Pascal se rappelle sans doute ce qu’écrit Girard Desargues au début et en conclusion de son Brouillon projet d’une atteinte aux événements des rencontres du cône avec un plan 1639) ; voir l’édition de René Taton, L’œuvre mathématique de Girard Desargues, Paris, P. U. F., 1951, p. 99 : « Chacun pensera ce qui lui semblera convenable ou de ce qui est ici déduit, ou de la manière de le déduire, et verra que la raison essaie à connaître des quantités infinies d’une part ; ensemble des si petites que leurs deux extrémités opposées sont unies entre elles, et que l’entendement s’y perd, non seulement à cause de leurs inimaginables grandeur et petitesse, mais encore à cause que le raisonnement ordinaire le conduit à conclure des propriétés dont il est incapable de comprendre comment c’est qu’elles sont ». Voir p. 179, mêmes idées : « En géométrie on ne raisonne point des quantités avec cette distinction qu’elles existent ou bien effectivement en acte, ou bien seulement en puissance, ni du général de la nature avec cette décision, qu’il n’y ait rien en elle, que l’entendement ne comprenne. À propos de la droite infinie, l’entendement se sent vaguer en l’espace duquel il ne sait pas d’abord s’il continue toujours, ou s’il cesse de continuer en quelque endroit. Afin de s’en éclaircir, il raisonne par exemple en cette façon ; ou bien l’espace continue toujours, ou bien il cesse de continuer en quelque endroit ; s’il cesse de continuer en quelque endroit, où que ce puisse être, l’imagination y peut aller en temps. Or jamais l’imagination ne peut aller en aucun endroit de l’espace, auquel cet espace cesse de continuer ; donc l’espace et conséquemment la droite continuent toujours. Le même entendement raisonne encore et conclut les quantités si petites que leurs deux extrémités opposées sont unies entre elles, et se sent incapable de comprendre l’une et l’autre de ces deux espèces de quantités, sans avoir sujet de conclure que l’une ou l’autre n’est point en la nature, non plus que les propriétés, qu’il a sujet de conclure de chacune d’elles encore qu’elles semblent impliquer, à cause qu’il ne saurait comprendre comment elles sont telles qu’il les conclut par des raisonnements ». Voir Desargues Girard, Œuvres, éd. Poudra, p. 103-104.
Cependant l’infini en puissance n’est pas en acte. Il n’est qu’un fini que l’on accroît par addition continuée de parties au-delà de toute mesure possible ; ce n’est qu’à notre à notre égard (quoad nos), que sa dimension énorme le fait apparaître comme un infini réel. Ce qui est vrai dans l’accroissement l’est aussi dans la diminution : la division d’un nombre ou d’une longueur va de plus en plus loin, mais jamais n’arrive à une fin ; elle n’aboutit jamais, si loin qu’on la pousse, au néant ou au zéro. Cet infini potentiel, comme simple possibilité d’aller toujours au-delà, est pour Aristote le seul qui puisse être réellement. On ne peut pas le concevoir comme une véritable totalité : voir Heath Thomas, Mathematics in Aristotle, loc. cit. ; Gardies Jean-Louis, Pascal entre Eudoxe et Cantor, p. 21 sq.
Aristote, Physique, III, 206, éd. Couloubaritsis, p. 138 sq., pense que l’infini ne peut se trouver dans les objets mathématiques et dans les intelligibles. Si la notion du corps est ce qui limité par une surface, il ne peut pas y avoir de corps infini, ni intelligible, ni sensible. Pas davantage le nombre ne peut être infini, car le nombre ou ce qui possède le nombre est nombrable ; donc si le nombrable peut être nombré, l’infini aussi peut être parcouru. De même, le problème de la possibilité de l’existence d’un corps infini sensible, est résolu par la négative, car le monde étant fini, s’il existait un corps infini, il serait plus grand que le monde, ce qui est contradictoire. L’infini reste toujours en puissance : « L’infini existe dans le fait de prendre toujours autre chose, et que cette chose soit toujours limitée mais toujours différente » : p. 143. Cette thèse, selon Aristote, ne présente pas d’inconvénient technique, car les mathématiciens n’ont besoin que de l’infini virtuel, et non de l’actuel. Voir Heath Thomas, Mathematics in Aristotle, p. 110 sq. Les mathématiciens n’ont besoin que du prolongement des droites aussi loin qu’ils veulent, mais non d’un infini actuel. Voir Duhem Pierre, Le système du monde, VII, p. 4.
On retrouve cette idée dans Thomas d’Aquin, Somme théologique, Ia. Q. 1-11, tr. Sertillanges, Question 7, De l’infinité de Dieu. Article III. Une chose posée en acte peut-elle être infinie en grandeur ? p. 196 et p. 202.
Cette conception demeure en cours au Moyen Âge.
Cet infini potentiel correspond à peu près à ce que Descartes ou Pascal (notamment dans les Lettres de A. Dettonville) appellent indéfini.
La négation de l’infini actuel a été invoquée par les apologistes contre les doctrines de Giordano Bruno. Voir par exemple Mersenne Marin, L’impiété des déistes, II, ch. XVIII, éd. Descotes, Paris, Champion, 2005, p. 613. Contre Bruno : « Achevons vitement de répondre au reste du discours de votre Libertin qui prend le feu pour nous contraindre d’avouer qu’il [sc. le monde] est actuellement infini, parce qu’il se peut accroître infiniment, s’il avait une matière infinie qu’il pût brûler ; c’est fort mal raisonné de conclure l’infini actuel par celui qui n’est qu’en puissance ; qu’il apprenne que la conséquence est nulle de la puissance à l’acte. Nous savons bien que le feu pourrait être infini, si Dieu voulait, mais nous disons pourtant qu’il ne l’est pas, parce que nous ne voyons rien qui nous contraigne de dire le contraire. »
♦ Postulat de Campanus : il n’y a pas de plus grand nombre, car on peut prendre un nombre plus grand que tout nombre donné
Itard Jean, Les Livres arithmétiques d’Euclide, Hermann, Paris, 1961, p. 91-92. Postulat ajouté à Euclide par Campanus : On peut prendre un nombre plus grand que tout nombre donné.
Clavius, Elementa Euclidis, VII, Postulata, Opera I, p. 313. II, Quolibet numero sumi posse majorem. Quamvis enim numerus infinite diminui nequeat, sed necessario ad unitatem diminutio deveniat, tamen augeri potest infinite per additionem continuam unitatis. Quare quolibet numero propositio major exhiberi potest, ille videlicet, qui ex unius unitatis, vel etiam plurium additione consurgit ». Traduit par Pierre Hérigone, Cursus, I, Eucl. Elem. VII, Pétition 2, p. 365 : à tout nombre donné en pouvoir prendre un plus grand.
Wallis John, Mathesis universalis, ch. V, Opera mathematica, I, p. 28. On peut à tout nombre ajouter une unité.
On peut en dire autant de certains types de nombres comme les nombres premiers, les carrés, les cubes, etc., comme l’a montré Euclide, Éléments, IX, 20, éd. Vitrac, t. 2, p. 444. Les nombres premiers sont plus nombreux que toute multitude de nombres premiers proposés.
Le postulat de Campanus, On peut prendre un nombre plus grand que tout nombre donné, exclut qu’il y ait un plus grand nombre : « Numerus maximus non datur », car une fois pris un nombre plus grand qu’un nombre donné, on peut trouver un nombre plus grand encore que ce nombre. Donc il n’y a pas de plus grand nombre, c’est-à-dire de nombre qui contient tous les autres.
Par conséquent la suite des nombres peut se poursuivre à l’infini : voir Itard Jean, Les livres arithmétiques d’Euclide, p. 92 ; Wallis John, Mathesis universalis, ch. V, Opera mathematica, I, p. 28.
On retrouve la même idée dans Diophante, Arithmétique, I, Définition I. Voir la traduction latine de Bachet, 1621, p. 2 (1670, p. 2) : « Verum etiam haec intelligendi tibi omnes numeros compositos esse a quadam multitudine unitatum, liquet eos augmentum in infinitum capere ». Cela apparaît comme une conséquence directe de la définition du nombre.
C’est ce que Pascal pense connu par négation de la proposition contraire dans Preuves par discours I (Laf. 418, Sel. 680) : Nous connaissons qu’il y a un infini, et ignorons sa nature comme nous savons qu’il est faux que les nombres soient finis. Donc il est vrai qu’il y a un infini en nombre, mais nous ne savons ce qu’il est. Il le montre dans De l’esprit géométrique, § 22-25, OC III, p. 401-403 : Un nombre qui ne puisse pas être augmenté serait par définition le plus grand nombre. Mais suivant De l’esprit géométrique, I, § 25, OC III, éd. J. Mesnard, p. 403, ce nombre, s’il existe, ne peut pas être atteint en ajoutant continuellement aux nombres des unités :
« Car qu’y a-t-il de plus évident que cette vérité, qu’un nombre, tel qu’il soit, peut être augmenté ? Ne peut-on pas le doubler ? Et que la promptitude d’un mouvement peut être doublée, et qu’un espace peut être doublé de même ?
Et qui peut aussi douter qu’un nombre, tel qu’il soit, ne puisse être divisé par la moitié, et sa moitié encore par la moitié ? Car cette moitié serait-elle un néant ? Et comment ces deux moitiés, qui seraient deux zéros, feraient-elles un nombre ? »
La même chose se dit de la grandeur continue de l’espace :
« Ainsi un espace, quelque petit qu’il soit, ne peut-il pas être divisé en deux, et ces moitiés encore ? Et comment se pourrait-il que ces moitiés fussent indivisibles sans aucune étendue, elles qui, jointes ensemble, ont fait la première étendue ? »
Et de même des autres grandeurs continues :
« De même, un mouvement, quelque lent qu’il soit, ne peut-il pas être ralenti de moitié, en sorte qu’il parcoure le même espace dans le double du temps, et ce dernier mouvement encore ? Car serait-ce un pur repos ? Et comment se pourrait-il que ces deux moitiés de vitesse, qui seraient deux repos, fissent la première vitesse ? »
On peut diviser une grandeur indéfiniment sans jamais atteindre un minimum qu’il n’est plus possible de diviser encore. La possibilité de poursuivre indéfiniment une division conduit aussi à la conclusion qu’il n’existe pas d’espace plus petit que tous les autres (c’est-à-dire indivisible), ni de plus petit nombre (à partir du moment où l’on prend en compte les nombres fractionnaires, comme le fait Pascal dans L’esprit géométrique). Voir § 27, OC III, p. 404-405.
« Il n’y a point de géomètre qui ne croie l’espace divisible à l’infini. On ne peut non plus l’être sans ce principe qu’être homme sans âme. Et néanmoins il n’y en a point qui comprenne une division infinie ; et l’on ne s’assure de cette vérité que par cette seule raison, mais qui est certainement suffisante, qu’on comprend parfaitement qu’il est faux qu’en divisant un espace on puisse arriver à une partie indivisible, c’est à dire qui n’ait aucune étendue.
Car qu’y a-t-il de plus absurde que de prétendre qu’en divisant toujours un espace, on arrive enfin à une division, telle qu’en la divisant en deux, chacune des moitiés reste indivisible et sans aucune étendue, et qu’ainsi ces deux néants d’étendue fissent ensemble une étendue ? »
Voir aussi Wallis John, De cycloide, in Opera, I, p. 534. « Magnitudines in infinitum descrescentes sunt quarum non datur minima. »
D’autres l’ont dit avant Pascal, mais sans avoir été capables de généraliser la proposition : voir Peletier du Mans, Arithmétique, Livre I, Chapitre I, § 1. « Nombre donq’ est une quantité ou multitude composée de plusieurs unités : comme 2, 3, 4, 5, 6, et tous autres sans fin. Car il ne se peut donner Nombre si grand qui ne se puisse augmenter d’un : non plus qu’il ne se peut donner Corps, ni Ligne tant petite qui ne se puisse encore diviser et appetisser. Ainsi les Nombres sont infinis en montant, et les Lignes en descendant ». Pour Pascal, l’infinité se trouve aussi bien dans le sens de la grandeur que dans celui de la petitesse, et aussi bien dans les nombres que dans les grandeurs continues.
♦ L’infiniment grand et l’infiniment petit
Le fragment Transition 4 (Laf. 199, Sel. 230), Disproportion de l’homme, se situe dans l’infini virtuel de grandeur et de petitesse, tel que l’homme les rencontre dans son existence concrète.
Selon Couturat Louis, De l’infini mathématique, p. 218, l’indéfini consiste en un fini variable, appelé soit infiniment grand, soit infiniment petit. On appelle infiniment petite une quantité variable qui tend vers zéro, et infiniment grande une quantité variable qui croît au-delà de toutes bornes, ayant pour limite l’infini. Il ne faut pas confondre la quantité variable et la quantité fixe qui est sa limite.
Duhem Pierre, Le système du monde, Histoire des doctrines cosmologiques de Platon à Copernic, VII, Paris, Hermann, 1956. Infiniment grand et infiniment petit.
Cette distinction est opérée de manière très nette chez Descartes. Voir Koyré Alexandre, Du monde clos à l’univers infini, p. 132. Descartes ne dit pas que le monde est infini, mais seulement qu’il est indéfini ; voir p. 147, la justification de cette thèse. Voir Principes, I, § 27, Quelle différence il y a entre indéfini et infini, in Œuvres, éd. Alquié III, p. 108, AT IX-II, p. 37. Le latin oppose l’infini divin, compris positivement, et l’indéfinité des choses, comprise négativement. Voir Œuvres, AT I, lettre à Clerselier du 23 avril 1649.
Galilée, L’essayeur, in Dialogues et lettres choisies, éd. Michel, Paris, Hermann, 1966, p. 89. Il est d’usage courant et quotidien d’employer le mot infini au lieu de très grand.
Les problèmes liés à l’infiniment grand naissent de la géométrie (avec notamment les découvertes en matière de perspective) et de l’astronomie (avec les controverses liés à l’infinité des mondes). Voir Seidengart Jean, Dieu, l’univers et la sphère infinie. Penser l’infinité cosmique à l’aube de la science classique, Paris, Albin Michel, 2006.
Les problèmes liés à l’infiniment petit naissent d’une part des mathématiques (notamment la méthode des indivisibles, ancêtre du calcul différentiel et intégral), et de la physique (avec les doctrines atomistes et les observations réalisées dans les sciences naturelles à l’aide des microscopes).
♦ Pascal et les indivisibles
Le raisonnement aboutit à la conclusion que la division indéfinie ne peut atteindre des indivisibles au sens strict. On n’atteint jamais le zéro, ou néant de nombre, par la division indéfinie. Quant à l’espace, la même maxime s’applique aux différents ordres de grandeur : si loin qu’on pousse la division, on n’atteint jamais le point (le néant d’espace) en divisant une ligne ; on n’atteint jamais une ligne dépourvue de largeur en divisant une surface ; on n’atteint jamais une surface sans épaisseur en divisant un solide.
Ce point est illustré dans le fragment Transition 4. Disproportion de l’homme, et dans De l’esprit géométrique. Voir Pascal, Œuvres complètes, éd. J. Mesnard, IV, Paris, Desclée de Brouwer, 1992, p. 393-404 (avec une bibliographie, p. 404-406).
Ce principe fonde la méthode dite des indivisibles, que Pascal emploie dans les Lettres de A. Dettonville sur la roulette.
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Boyer Carl B., The history of the calculus and its conceptual development, New York, Dover, 1949.
Costabel Pierre, “Essais sur les secrets des Traités de la roulette”, in L’œuvre scientifique de Pascal, Centre International de synthèse, Paris, P. U. F., 1964, p. 168-206.
Descotes Dominique, Blaise Pascal. Littérature et géométrie, Clermont-Ferrand, P. U. B. P., 2001.
Merker Claude, Le chant du cygne des indivisibles. Le calcul intégral dans la dernière œuvre scientifique de Pascal, Presses Universitaires Franc-Comtoises, 2001.
La méthode des indivisibles a été mise au point par le géomètre jésuate Bonaventura Cavalieri pour perfectionner et abréger la méthode des mathématiciens grecs Euclide et Archimède pour quarrer les surfaces planes ou courbes, cuber les solides et déterminer les centres de gravité. Elle consistait à considérer les corps géométriques comme s’ils étaient constitués par des éléments comportant une dimension de moins qu’eux : une surface peut être considérée comme une somme de lignes, et un solide comme une somme de plans. Dans les deux cas, on objectait à Cavalieri le fait que des lignes sans largeur ne pouvaient composer une surface, et que des plans sans épaisseur ne pouvaient engendrer un solide. Pour éviter ces inconvénients, Pascal et Roberval retiennent le mot d’indivisibles, mais en changent la signification : ils considèrent que dans la division indéfinie d’une surface, comme par exemple le demi-cercle CMF est composé par des ordonnées ZM, qui sont en fait des rectangles très fins (ZM . ZZ), dont la hauteur ZZ peut être rendue très petite. Lorsque les ZZ sont plus petites que toute grandeur donnée, la « somme des rectangles » se confond avec la surface du demi-cercle.
Naturellement, Pascal ne parle que de division indéfinie, et non proprement infinie, car il est évident que même si on pousse très loin le nombre des divisions Z de CF, il subsistera toujours un excès en escalier. Mais de nombreux Avertissements répartis en plusieurs endroits des Lettres de A. Dettonville expliquent que l’on peut montrer que dans la division indéfinie de l’axe CF, c’est-à-dire poussée aussi loin qu’on peut le vouloir, cet excès peut toujours être rendu moindre que toute grandeur donnée, c’est-à-dire négligeable. Il donne même à l’occasion une démonstration rigoureuse de ce point dans son Traité des trilignes. Il montre aussi dans la Lettre à M. ADDS que la moderne méthode des indivisibles peut être remplacée par celle des anciens, qui procède par des inscriptions et circonscriptions au terme desquelles on démontre par l’absurde que les grandeurs que l’on compare sont strictement égales. L’inconvénient de cette méthode est sa lourdeur et la longueur de ses démonstrations ; Pascal lui préfère sa méthode, plus rapide et tout aussi convaincante. Il annonce ainsi les formes ultérieures du calcul intégral.
♦ L’infini actuel
L’infini en acte est réellement infini : par définition il ne comporte pas de limite. C’est ce qui est plus grand que toute grandeur donnée, autrement dit ce au-delà de quoi il ne peut rien y avoir. Gilbert Thérèse et Rouche Nicolas, La notion d’infini, Paris, Ellipses, 2001, p. 15 sq. L’infini pensé dans sa globalité est appelé infini actuel : p. 16.
C’est de l’infini en acte, réel, que saint Thomas d’Aquin entend la nature de Dieu. Voir Somme théologique, Ia. Q. 1-11, tr. Sertillanges, p. 186 sq. Question 7, De l’infinité de Dieu, Article I, Dieu est-il infini ?, p. 186. « Est appelé infini, par définition, ce qui n’est pas fini » : p. 187.
L’infini actuel est indifférent à l’addition ou à la soustraction de parties, en ce sens qu’on peut lui ajouter des parties sans le changer en rien pour autant.
♦ Le nombre infini
Certains mathématiciens et philosophes estiment que le nombre actuellement infini n’a pas d’existence réelle. Voir par exemple Duhem Pierre, Le système du monde, VII, p. 119, sur le désaccord de Jean de Bassols avec Aristote qui nie le nombre actuellement infini.
Couturat Louis, De l’infini mathématique, p. 617 sq. Selon la théorie « empiriste », il n’y aurait pas de nombre infini, parce que par construction tous les nombres ordinaux de la suite naturelle sont finis, et que par définition tout nombre cardinal dérive d’un nombre ordinal : p. 361.
Mersenne Marin, Les nouvelles pensées de Galilée, II, p. 159. Il n’y a aucun nombre qui contienne tous les autres et qui mérite d’être appelé nombre infini (le aleph zéro des transfinitistes).
Sur l’existence de ce nombre actuellement infini, Pascal considère manifestement que le problème reçoit une réponse positive. Il l’affirme nettement son existence, malgré son caractère incompréhensible. Voir A P. R. 2 (Laf. 149, Sel. 182) : Tout ce qui est incompréhensible ne laisse pas d’être. Le nombre infini, un espace infini égal au fini. Pascal pense que l’on peut connaître cette existence par la raison naturelle.
Cela répond bien à ce qu’il écrit dans Preuves par discours I, où il affirme que le nombre infini existe et qu’on connaît son existence ; sur ce point, Pascal n’est pas très éloigné de Descartes, qui pense que l’on connaît l’infini, mais qu’on ne le comprend pas. La différence entre eux tient au fait que Descartes pense que la connaissance positive qu’on a de l’infini est la condition de la formation de l’idée du fini.
Pascal pense que l’on connaît l’existence de l’infini seulement par voie négative, par un raisonnement apagogique et indirect. C’est ce qu’il explique dans Preuves par discours I et dans Grandeur 6 (Laf. 110, Sel. 142) : notre âme, qui trouve dans le corps où elle est jetée nombre, temps, dimensions [...] appelle cela nature, nécessité, et ne peut croire autre chose. [...] Le cœur sent qu’il y a trois dimensions dans l’espace et que les nombres sont infinis, parce qu’il est évident que l’on peut toujours ajouter une unité à n’importe quel nombre, si grand soit-il : voir plus haut, De l’esprit géométrique, § 22-23, OC III, éd. J. Mesnard, p. 402. « Donc il est vrai qu’il y a un infini en nombre ».
Pascal parle bien ici de l’infini réel, comme on le vérifie par les propriétés qu’il attribue à ce nombre infini. En d’autres termes, il considère que l’existence de l’infini virtuel suffit à vérifier celle de l’infini actuel. L’infini actuel est à ses yeux la condition de possibilité de l’infini potentiel : s’il n’y avait pas d’infini actuel, il n’y aurait pas d’infini potentiel. Ce n’est cependant pas pour autant que l’infini potentiel peut donner à l’homme une connaissance positive de l’infini actuel : comme nous allons le vérifier, pour Pascal on connaît l’existence de l’infini actuel, mais non sa nature. Selon Preuves par discours I : Nous connaissons qu’il y a un infini, et ignorons sa nature.
Gardies Jean-Louis, Pascal entre Eudoxe et Cantor, p. 116, insiste sur la parenté de la pensée de Pascal avec celle de Cantor, pour qui l’infini potentiel témoigne de l’existence de l’infini actuel, le transfini sur lequel l’autre se déplace ; sans le second, le premier ne pourrait pas être pensé. Gardies s’appuie sur quatre textes, L’esprit géométrique, Transition 4, Preuves de Jésus-Christ 11 (Laf. 308, Sel. 339) sur les trois ordres, et Preuves par discours I (dans lequel il note que l’infini est entendu au sens du transfini).
Voir aussi Belna Jean-Pierre, La notion de nombre chez Dedekind, Cantor, Frege, p. 187. Cantor rapproché de Pascal sur l’idée que l’infini potentiel suppose déjà l’existence de l’infini actuel. Là où Pascal se contente d’une remarque annexe, Cantor tente de forcer le passage.
Mais comme l’écrit Couturat Louis, De l’infini mathématique, p. 361 sq., si ce nombre infini existe, il n’appartient pas à la suite des nombres naturels, puisque ce n’est pas en ajoutant des unités les unes aux autres qu’on peut l’atteindre.
Les propriétés que Pascal lui attribue dans Preuves par discours I attestent qu’il y envisage bien l’infini actuel. Elles sont différentes de celles du nombre fini, et sont purement négatives. L’unité jointe à l’infini ne l’augmente de rien, non plus que un pied à une mesure infinie, et par suite il est faux qu’il soit pair, il est faux qu’il soit impair, puisque par définition en ajoutant l’unité il ne change point de nature. Cependant c’est un nombre, et tout nombre est pair ou impair. Il est vrai que cela s’entend de tout nombre fini. Cette définition est très originale. Pascal ne définit pas le nombre infini en disant qu’il est très grand, ni comme ce qui est plus grand que toute grandeur ou tout nombre donné, mais par son indifférence à l’addition ou au retranchement de ce qui est fini. Cette définition distingue le nombre infini en question de tout nombre infiniment grand, car l’infini virtuel change si on lui ajoute une grandeur finie. Il s’agit bien ici de l’infini actuel dénombrable (Dans L’Esprit géométrique, Pascal envisage l’infini actuel non dénombrable - termes ayant la puissance du continu. Voir Gardies Jean-Louis, Pascal entre Eudoxe et Cantor, Paris, Vrin, 1984, p. 82).
Pascal invoque ici la propriété qui sera par la suite désignée sous le nom de réflexivité des nombres infinis, c’est-à-dire l’indifférence de l’infini à l’addition ou à la soustraction d’une grandeur finie.
Cette indifférence de l’infini à l’égard du fini a été affirmée par plusieurs auteurs, dans l’Antiquité et au Moyen Âge. Voir par exemple Duhem Pierre, Le système du monde, VII, Paris, Hermann, 1956, p. 114. F. de Meyronnes : « lorsque d’une multitude infinie on retranche une multitude finie quelconque, il reste encore une multitude infinie qui n’est donc aucunement diminuée ». Même idée chez Jean de Bassols : p. 119.
Wallis John, Arithmetica infinitorum, Prop. CLXXXII, in Opera mathematica, I, Oxoniae, e Theatro Sheldoniano, 1695, p. 453 sq. En principe, ∞, ∞ + 1, ∞ - 1, perinde sunt, p. 453 ; mais il faut faire attention : « cum enim infinite parvum infinities multiplicatur, assurgit nonnunquam quantitas satis magna, nempe illa ipsa cujus illa fuit aliquota pars utut infinite parva ». Nam
et 
Duns Scot a même soutenu que l’on peut d’un infini retrancher un infini sans modifier la puissance du premier : voirDuns Scot, In VIII Lib. Physicorum Aristotelis quaestiones et expositio, Venise, apud J. Guerilium, 1617, p. 322-324. Exemple du retranchement de l’ensemble infini des pairs ou des impairs sur l’ensemble des entiers : on peut, en prenant tous les nombres entiers naturels en nombre infini, en retrancher tous les nombres impairs et ne conserver que les nombres pairs ; l’ensemble restant n’en sera pas moins infini.
La même idée a été approfondie à l’époque moderne, qui a fait de la réflexivité la définition même de l’infini. Voir Russell Bertrand, Introduction à la philosophie mathématique, p. 99 sq., et La méthode scientifique en philosophie, Payot, p. 192 sq. : alors que les nombres finis ne possèdent pas la propriété de réflexivité, car ils sont modifiés par l’addition ou la soustraction d’une unité, le nombre des nombres inductifs (le nombre transfini) est un nombre nouveau, différent des précédents, qui ne possède pas toutes les propriétés inductives, et qui notamment demeure inchangé par l’addition et la soustraction :
N – 1 = N = N + 1
Warusfel André, Les nombres et leurs mystères, Paris, Seuil, 1970, p. 123 sq.
Il en résulte que le nombre actuellement infini échappe aux catégories qui s’appliquent aux nombres dans le fini : Il est faux que le nombre infini soit pair, il est faux qu’il soit impair. Cependant c’est un nombre, et tout nombre est pair ou impair. Sur ce paradoxe, voir Preuves par discours I. Pascal reprend ici une remarque d’Aristote, Métaphysique, M, 8, éd. Tricot, II, p. 769 sq. : « le nombre, en tant qu’infini, n’est ni pair, ni impair, alors que la génération des nombres est toujours celle, soit d’un nombre pair, soit d’un nombre impair ».
Cantor voudra montrer en plus que le nombre infini est à la fois pair et impair. Voir Belna Jean-Pierre, La notion de nombre chez Dedekind, Cantor, Frege, p. 188 : Cantor dit que ω, le plus petit ordinal transfini, est à la fois pair et impair, ce qui en fait un nombre très spécial en comparaison des nombres usuels. Voir aussi Gardies Jean-Louis, Pascal entre Eudoxe et Cantor, p. 123-123. Soit ω le nombre infini : ω est à la fois pair et impair en ce sens que
ω = ω x 2 et ω = 1 + x 2
ω n’est ni pair ni impair, en ce sens qu’on ne peut indiquer un nombre α tel que
ω = 2 x α et ω = 2 x α + 1
Ce caractère détermine un troisième point : la connaissance et la compréhension que l’homme peut avoir de la nature de ce nombre infini. Car l’idée qu’un nombre puisse ne pas être modifié par l’addition ou la soustraction, quelque nécessaire qu’elle paraisse, n’en est pas moins incompréhensible à la raison. C’est pourquoi Pascal écrit que si l’on connaît l’existence de l’infini, on n’en comprend pas la nature.
L’idée qu’on n’a pas de connaissance de l’infini, et de l’infini en nombre se trouve un peu partout. Voir par exemple Peletier du Mans Jacques, Jacobi Peletarii medici et mathematici, in Christophorum Clavium, de contactu linearum, Apologia, I, De anguli rectilinei et curvilinei aequalitate, p. 6 v° sq. « Infiniti enim nulla scientia est ». Plus proche de Pascal, voir Mersenne Marin, Questions inouïes, Question XXV, éd. Pessel, p. 69, Peut-on dire combien chaque homme a de cheveux dans la tête, et concevoir le nombre infini ?, p. 69.
Proches de Pascal, Arnauld Antoine et Nicole Pierre, La logique, IV, I et IV, VII, (éd. de 1664), éd. Descotes, Champion, p. 512 et 560, déclarent que comme « il est de la nature d’un esprit fini de ne pouvoir comprendre l’infini », des questions telles que y a-t-il un infini plus grand que l’autre ? sont de celles dont on peut se tirer en disant qu’on ne saurait en avoir une idée assez claire et distincte pour en juger. Celui qui dit tout de suite je n’en sais rien est aussi avancé que celui qui perd son temps à l’examiner (voir plus bas).
Quelques auteurs en jugent différemment : consulter sur ce point Blay Michel, Les raisons de l’infini, Paris, Gallimard, 1993, p. 184 sq. : selon Fontenelle, le nombre infini a le même type de réalité que les nombres finis, il existe aussi réellement que les nombres finis ; c’est un nombre et doit être traité comme tel. Voir Marchal Roger, Fontenelle à l’aube des Lumières, Champion, Paris, 1997, p. 188 sq.
La position de Pascal est précisée dans Preuves par discours I : nous ne connaissons l’existence de l’infini que par voie indirecte, nous [...] ignorons sa nature ; et nous ne savons ce qu’il est. Aussi Pascal classe-t-il le nombre infini parmi les incompréhensibles qui ne laissent pas d’être : voir A P. R. 2 (Laf. 149, Sel. 182) : Tout ce qui est incompréhensible ne laisse pas d’être. Le nombre infini, un espace infini égal au fini.
Cependant, ce principe admis, il est possible de raisonner à partir de lui. Voir Grandeur 6 : Le cœur sent qu’il y a trois dimensions dans l’espace et que les nombres sont infinis et la raison démontre ensuite qu’il n’y a point deux nombres carrés dont l’un soit double de l’autre. Les principes se sentent, les propositions se concluent et le tout avec certitude quoique par différentes voies.
Certains commentateurs ont des doutes sur la manière dont Pascal use du terme d’infini. Voir par exemple Carraud Vincent, Pascal et la philosophie, p. 426 sq., qui estime que « Pascal fait, dans le [fragment Laf.] 199, un usage purement rhétorique, c’est-à-dire non conceptuellement rigoureux, de la notion d’infini ». En fait, la démarche de Pascal est rigoureuse si on la replace dans le contexte de sa conception de la connaissance que l’homme peut avoir de l’infini. La connaissance de la nature de l’infini actuel n’étant possible à l’homme que par le biais de l’infini potentiel qui en est pour ainsi dire la figure quoad nos, on voit difficilement comment Pascal peut en parler en d’autres termes. C’est le fondement même de la doctrine des indivisibles, dont il a été question plus haut.
♦ Dans l’infini, les termes d’égalité, de plus grand et de plus petit n’ont pas de sens, et l’axiome selon lequel le tout est plus grand que la partie n’a pas lieu : In infinito non habere locum axioma quod totum sit majus parte
Les notions de plus grand et de moins grand ne valent que pour les grandeurs finies, et non dans l’infini.
Duhem Pierre, Le système du monde, VII, p. 109. Duns Scot dit déjà que les mots égal, plus grand, plus petit, ne sauraient convenir à des volumes, à moins qu’ils ne soient finis. Plus et moins désignent des différences entre quantités finies, et non entre infinies.
Sinaceur Hourya, “Existe-t-il des nombres infinis ?”, La recherche, Hors-série n° 2, août 1999, p. 30-36. Selon Galilée, les relations d’égalité et d’inégalité, de supériorité et d’infériorité ne sont pas valides dans l’infini ; cette idée s’appuie sur l’argument que chaque nombre a son carré et que chaque carré est issu d’un entier positif : p. 32. Voir ce qu’en dit Galilée, Discours concernant deux sciences nouvelles, éd. Clavelin, p. 30 ; et Galilée, Dialogue sur les deux grands systèmes du monde, II, éd. Fréreux, Paris, Seuil, 1992, p. 148.
Ce texte est cité dans Russell Bertrand, La méthode scientifique, p. 197 sq. et p. 200.
Dans l’infini, l’axiome selon lequel le tout est plus grand que la partie n’a pas lieu. En passant de la négation à l’affirmation on en tire que dans l’infini le tout est égal à sa partie, définition nouvelle de l’infini : voir Couturat Louis, Les principes des mathématiques, avec un appendice sur la philosophie des mathématiques de Kant, Paris, Blanchard, 1980, p. 64 sq. Selon Cantor, une classe (ou un ensemble) est infinie quand elle est équivalente à une partie intégrante d’elle-même.
Pascal ne développe pas ce principe, mais ses réflexions y conduisaient certainement.
En revanche, Pascal énonce le principe de l’égalité et de l’annulation de tout ce qui est fini à l’égard de l’infini. Voir Transition 4. Dans la vue de ces infinis tous les finis sont égaux et je ne vois pas pourquoi asseoir son imagination plutôt sur un que sur l’autre. La seule comparaison que nous faisons de nous au fini nous fait peine. Pour ce qui touche la condition humaine, Pascal précise : Ce milieu qui nous est échu en partage étant toujours distant des extrêmes, qu’importe qu’un autre ait un peu plus d’intelligence des choses s’il en a, et s’il les prend un peu de plus haut, n’est-il pas toujours infiniment éloigné du bout et la durée de notre vie n’est-elle pas également infime de l’éternité pour durer dix ans davantage.
Taton René (dir.), La science moderne, p. 248. Cette idée aboutit à la demande que fait le Marquis de L’Hospital au début de son Analyse des infiniment petits : on prend indifféremment l’une pour l’autre deux quantités qui ne diffèrent que d’une quantité infiniment petite. Voir Analyse, I, p. 2-3 : « On demande qu’on puisse prendre indifféremment l’une pour l’autre deux quantités qui ne diffèrent entr’elles que d’une quantité infiniment petite, ou (ce qui est la même chose) qu’une quantité qui n’est augmentée ou diminuée d’une autre quantité infiniment moindre qu’elle puisse être considérée comme demeurant la même ». Voir Blay Michel, La naissance de la mécanique analytique, p. 33 sq. Sauveur fait la première présentation des résultats du calcul leibnizien à l’Académie, les 23 et 30 juin 1696.
♦ Infini numérique et infini continu
Dans le fragment Disproportion de l’homme, Transition 4, Pascal demeure dans l’infini potentiel, puisqu’il procède par accroissement et par diminution progressifs. Comme il y demeure dans une perspective quoad nos, il ne ressent pas le besoin d’en rien conclure touchant l’infini actuel, sinon pour dire que l’infini potentiel est la marque que la nature porte de l’infinité actuelle de Dieu.
Avec L’esprit géométrique, Pascal aborde l’infini actuel, en distinguant les divisions de la ligne, toujours finies, de l’infinité des points qui s’y trouvent : la différence entre l’infini potentiel et l’infini actuel y prend la forme d’une négation : jamais par la multiplication indéfinie on n’atteint le plus grand nombre, celui qui ne peut être dépassé, ni l’infinité spatiale positive. Mais il met toujours sur le même plan les infinis nombrable et non dénombrable (le continu spatial, temporel, etc.). Il met sur le même plan l’infini de l’espace et celui des nombres (parmi lesquels Pascal comprend non pas seulement les nombres entiers, mais aussi les fractionnaires).
Le fragment Preuves par discours I envisage l’infini dénombrable actuel, puisqu’il y est question du nombre infini, toujours placé en regard de l’infini géométrique, pour dire que tout deux sont indifférents à l’addition. Le raisonnement est alors poussé plus loin que dans L’esprit géométrique, dans la mesure où l’argument apagogique y est explicitement formulé, qui conduit de l’infini potentiel à l’affirmation de l’existence de l’infini actuel.
Dans le texte sur les trois ordres, Preuves de Jésus-Christ 11, Pascal définit la différence de genre des corps, des esprits et de la charité par des distances actuellement infinies, caractérisées par le fait que les grandeurs des inférieures n’ajoutent ni n’ôtent quoi que ce soit aux supérieures. Mais il ne s’agit plus alors de grandeurs d’ordre mathématique, qui s’exprimeraient par les nombres ou par l’espace.
En revanche, c’est par ce dernier texte que l’on peut poser un problème abordé par Jean-Louis Gardies dans son Pascal entre Eudoxe et Cantor, p. 80 sq., la question de savoir si, selon Pascal, l’infini est unique, ou s’il y a plusieurs infinis, et par suite s’il peut exister un infini ou des infinis plus grands que l’infini ? Certains auteurs pensent que c’est impossible par définition.
Long et Sedley, Les philosophes hellénistiques, II, Les stoïciens, p. 303. Pour les Stoïciens, « la division broie les corps à l’infini, et entre infinis, aucun n’est plus grand ni plus petit. »
Saint Bonaventure, Commentaire des Sentences, II, d. 1, p. 1, a. 1, q. 2, Quod non, Qu’il n’ait pas été produit dans le temps…, in Thomas d’Aquin et la controverse sur l’Éternité du monde, éd. C. Michon (dir.), p. 60 sq. Il est impossible que les infinis soient ordonnés, autrement dit qu’il y ait plusieurs ordres d’infinités successives.
Galilée, Discours concernant deux sciences nouvelles, éd. M. Clavelin, p. 30, attribue à l’aristotélicien Simplicio l’idée qu’il est impensable qu’il existe une grandeur supérieure à l’infini : « Qu’il y ait un infini plus grand que l’infini me semble une idée totalement inintelligible ».
Voir Fénelon, Traité de l’existence de Dieu, II, III, § 44, éd. Dumas, p. 123 sq. Il ne peut y avoir plusieurs infinis : II, V, § 70, p. 140. Dire “une infinité d’infinis” est un pléonasme puéril ; ce n’est pas plus que l’infini simple ; plusieurs infinis seraient infiniment moins qu’un : § 72, p. 143. Il répugne qu’il y ait plusieurs infinis en divers genres : § 74, p. 144. S’il y avait plusieurs infinis, ils n’en formeraient qu’un seul ; ils feraient moins qu’un infini : § 78, p. 146. L’infini est essentiellement un : § 79, p. 146 sq. Il y a contradiction à admettre plusieurs infinis : § 80, p. 147 sq.
Pourtant l’idée qu’il est possible de trouver des infinis plus grands que d’autres a ses partisans. Voir Duhem Pierre, Le système du monde, VII, p. 132-133. Grégoire de Rimini explique en quel sens un infini peut et ne peut pas être partie d’un autre infini, ou être plus grand qu’un autre infini.
Rivaud Albert, Histoire de la philosophie, II, p. 175. Duns Scot pense que des infinis peuvent être inégaux.
Koyré Alexandre, Études d’histoire de la pensée scientifique, p. 358. Cavalieri : quod unum infinitum alio majus dari posse pro firmissimo Geometriae sternere auserim fundamento.
Mersenne Marin, Harmonie universelle, De l’utilité de l’harmonie, Prop. III, éd. C.N.R.S., t. 3, p. 19. Il y en a qui faisant chaque ligne composée d’une infinité de points, disent qu’il y a des infinis plus grands les uns que les autres, selon la raison donnée, effable ou ineffable.
Certains auteurs estiment enfin que la question n’a pas de solution et ne doit pas être posée. Voir Arnauld Antoine et Nicole Pierre, La logique ou l’art de penser, IV, I (éd. de 1664), éd. D. Descotes, p. 512. La question y a-t-il un infini plus grand que l’autre ? est de celles dont on peut se tirer en disant qu’on ne saurait en avoir une idée assez claire et distincte pour en juger. Celui qui dit tout de suite je n’en sais rien est aussi avancé que celui qui perd son temps à l’examiner.
La théorie réellement mathématisée des ordres successifs d’infinités n’est venue qu’à la transition des XIXe et XXe siècles. Voir Belna Jean-Pierre, La notion de nombre chez Dedekind, Cantor, Frege, p. 113. Cantor a démontré que pour tout ensemble M, card P(M) > card M (où P(M) est l’ensemble des parties de M), soit 2m> M. Voir aussi dans Delahaye Jean-Paul, “Une infinité d’infinis”, in Sciences et avenir, Hors série, n° 105, mars 1996, p. 77, la démonstration que l’ensemble des parties de E, P (E), a toujours une taille strictement plus grande que l’ensemble E.
Warusfel André, Les nombres et leurs mystères, p. 126 et surtout p. 130. Preuve que si A est un nombre transfini, 2A est un nombre transfini supérieur, soit : 2A> A. Voir aussi Petite encyclopédie des mathématiques, p. 355-356. ϗ0 et ϗ. Égalité : ϗ = 2ϗ0.
Pascal ne s’est pas exprimé sur ce sujet. Il parle toujours du nombre infini au singulier. Certains textes cependant laissent entrevoir la possibilité qu’il estime qu’il y a plusieurs ordres d’infinité. Le fragment sur les trois ordres, Preuves de Jésus-Christ 11, contient l’expression infiniment plus infini, pour décrire l’abîme qui sépare les deux ordres naturels (les corps et les esprits) de l’ordre surnaturel de la charité. Le contexte n’est ni arithmétique, ni mathématique ; il s’agit pour ainsi dire d’infinités en éminence. D’autre part, dans l’argument du pari (Preuves par discours I), lorsqu’il parle d’infinité de temps infiniment heureux, Pascal semble faire entrer dans le calcul une sorte d’infini pour ainsi dire porté au carré.
Il est possible que Pascal ait conçu une succession des infinités de grandeur conçue sur le modèle des genres de la géométrie : dans la ligne, il y a une infinité de points ; dans la surface, il y a une infinité de lignes ; dans le solide il y a une infinité de surfaces. Les Lettres de A. Dettonville montrent qu’il est possible de poursuivre au-delà des trois dimensions de la géométrie classique. Pascal conçoit peut-être que comme une surface engendrée par la multiplication d’une ligne, qui contient une infinité de points, par une autre ligne qui en contient aussi une infinité, est à leur égard comme un infini d’ordre supérieur. Il est certain que Pascal a bien montré dans les Lettres de A. Dettonville, que les sommes de lignes n’engendrent pas des surfaces, qui sont d’un genre supérieur. Mais en a-t-il conclu qu’il existe des ordres d’infinis plus grands les uns que les autres, c’est ce qu’il n’a jamais dit explicitement : il faut s’en tenir, sur ce point, au peu d’expressions que nous avons mentionnées plus haut. Si tel était le cas, on peut voir là un pressentiment de ce qui sera formulé beaucoup plus tard par Cantor sur les ensembles de puissance supérieure. Mais comme on sait, Cantor a établi que le côté du carré a autant de points que le carré lui-même. La conception qu’il se fait de l’échelle des alephs ne peut pas être identique à celle que nous venons de reconstituer.
♦ Existe-t-il une priorité de l’infini numérique sur l’infini des grandeurs continues ?
Dans le Triangle arithmétique, Pascal évoque, en Conclusion du Potestatum numericarum summa, le paradoxe qui marque le rapport de l’infini arithmétique et de l’infini dans les grandeurs continues : la nature, « éprise d’unité », établit un rapport entre les sommes de puissances numériques et la continuité de l’espace. L’opuscule De l’esprit géométrique procède du reste à une mise en correspondance réglée des nombres et des grandeurs continues que sont l’espace, le temps et le mouvement. Que cette harmonie pour ainsi dire préétablie témoigne que c’est le « même maître » qui a créé nombres, espace et grandeurs continues, c’est certain. Le fragment Laf. 698, Sel. 577 soutient que les nombres imitent l’espace qui sont de nature si différente.
Mais il écrit dans Laf. 663, Sel. 544 que la nature recommence toujours les mêmes choses, les ans, les jours, les heures, les espaces de même. Et les nombres sont bout à bout, à la suite l’un de l’autre ; ainsi se fait une espèce d’infini et d’éternel. Ce n’est pas qu’il y ait rien de tout cela qui soit infini et éternel, mais ces êtres terminés se multiplient infiniment. Ainsi les jours, les espaces ne sont infinis que parce que leurs parties sont bout à bout, à la suite l’un de l’autre, ce qui n’engendre qu’une espèce d’infini et d’éternel, un infini qui ne l’est pas réellement, et qui se réduit au bout du compte à de l’indéfini. Pascal range donc ici les nombres avec le temps et l’espace, parmi ces grandeurs qui ne sont que des espèces d’infini et d’éternel.
Cependant le même fragment envisage les nombres sous un autre aspect, comme multipliants, et c’est alors seulement que le nombre, et le nombre multiplicateur seul, est réellement infini : Ainsi il n’y a ce me semble que le nombre, qui les multiplie, qui soit infini. La clause « ce me semble » suggère que Pascal paraît chercher à mettre ses idées au net plutôt qu’il n’affirme dogmatiquement. Mais il semble qu’il tend ici à passer au rasoir d’Occam les infinis des grandeurs continues, qui ne seraient connus à l’homme que sous la forme d’espèces d’infinis, pour ne retenir qu’un seul infini véritable, le nombre comme multiplicateur.
Voir Descotes Dominique, “Les nombres dans les Pensées”, in Chroniques de Port-Royal, 63, Paris, 2013, p. 199-219.
♦ Les paradoxes de l’infini
Voir notre commentaire sur Preuves par discours I.
Les contemporains ont produit un nombre considérable de paradoxes liés à l’infini. Galilée a notamment montré comment on pouvait établir qu’un point est égal à une ligne, ou que deux surfaces égales et deux solides égaux ayant pour bases des surfaces diminuant continuellement arrivent, en laissant des restes égaux entre eux, à ce que l’une des surfaces se réduise à une ligne, c’est-à-dire une infinité de points, et l’autre à un seul point.
Parmi les paradoxes qui ont intéressé Pascal figure le fait que certains espaces infinis puissent avoir une mesure finie. Voir sur ce sujet A P. R. 2 (Laf. 149, Sel. 182), un espace infini égal au fini. Sur ce paradoxe, voir Descotes Dominique, “Espaces infinis égaux au fini”, in Le grand et le petit, CRDP, Clermont-Ferrand, 1990, p. 41-67 ; et Mancosu Paolo, Philosophy of mathematics and mathematical practice in the seventeenth century, Oxford, 1996, p. 129 sq.
Parmi les paradoxes célèbres que Pascal a certainement connus, figure la roue d’Aristote, qui consiste en ce que des cercles concentriques de rayons et de circonférences différents, lorsqu’on leur fait opérer un tour de roulement complet, parcourent tous la même distance. Voir Aristote, Questions mécaniques, 24, 855 b, et les commentaires de Heath Thomas, Mathematics in Aristotle, p. 246 sq. Ce paradoxe est directement lié à la construction des roulettes ordinaire, allongée et raccourcie.
Pascal avait sans doute lu l’opuscule du jésuite André Tacquet, Dissertatio physico-mathematica de motu circuli et sphaerae. Quam praeside R. P. Andrea Tacquet, Societatis Iesu matheseos professore defendit, explicuit ac demonstravit, Illustrissimus D. Philippus Eugenius comes de Hornes et d’Herlies, Lovanii 31 jan. Anno 1650, in Collegio Societatis Iesu, Lovanii, Typis Corn. Coenestenii, Anno 1650. Voir Descotes Dominique, “Documents relatifs aux Lettres de A. Dettonville, I, Pascal et le Père Tacquet”, Courrier du Centre International Blaise Pascal, n° 14, 1992, p. 18-53.
♦ Pascal et l’infini divin
L’infinité de Dieu constitue un cas différent de celui de l’infini mathématique : dans le fragment Preuves par discours I, Pascal affirme que si l’homme peut avoir une connaissance de l’infini mathématique dans son existence, sinon dans sa nature, il n’en est pas de même pour Dieu : Selon les lumières naturelles, Dieu est infiniment incompréhensible, puisque n’ayant ni parties ni bornes, il n’a nul rapport à nous. Nous sommes donc incapables de connaître ni ce qu’il est, ni s’il est. Cela étant qui osera entreprendre de résoudre cette question ? ce n’est pas nous qui n’avons aucun rapport à lui. Ce n’est que par la foi que nous connaissons son existence , ce qui n’a rien d’absurde, puisqu’on peut bien connaître qu’il y a un Dieu sans savoir ce qu’il est (comme c’est le cas pour l’infini mathématique). Et ce n’est que par la gloire, c’est-à-dire dans l’au-delà, que nous connaîtrons sa nature.
Dans le même fragment, Pascal esquisse une explication de cette situation paradoxale : nous connaissons [...] l’existence et la nature du fini parce que nous sommes finis et étendus comme lui. Nous connaissons l’existence de l’infini et ignorons sa nature, parce qu’il a étendue comme nous, mais non pas des bornes comme nous. Quant à Dieu, il n’a ni étendue, ni bornes. La formule doit être entendue non pas seulement de l’infinité spatiale (étendue), mais aussi numérique, puisque les nombres naturels sont chacun finis.
Bibliographie ✍
D’une bibliographie surabondante, nous ne retenons ici que des ouvrages susceptibles de faciliter la lecture de Pascal.
Ouvrages généraux
BELNA Jean-Pierre, La notion de nombre chez Dedekind, Cantor et Frege, Paris, Vrin, 1996.
BOLZANO Bernard, Les paradoxes de l’infini, éd. H. Sinaceur, Paris, Seuil, 1993.
CANTOR Georg, Sur les fondements de la théorie des ensembles transfinis, Paris, Gabay, 1989.
COUTURAT Louis, De l’infini mathématique, Paris, Blanchard, 1973.
DEDEKIND Richard, La création des nombres, éd. H. Sinaceur, Paris, Vrin, 2008.
GARDINER A., Infinite processes. Background to analysis, New York, Springer-Verlag, 1982.
GILBERT Thérèse, et ROUCHE Nicolas, La notion d’infini. L’infini mathématique entre mystère et raison, Paris, Ellipses, 2001.
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RUSSELL Bertrand, La méthode scientifique en philosophie, Paris, Payot, 1971.
VERDIER Norbert, L’infini en mathématiques, Paris, Flammarion, 1997.
Certaines revues proposent des numéros spéciaux qui facilitent l’accès aux problèmes relatifs à l’infini.
Les infinis, Pour la science, n° 278, décembre 2000.
Comprendre l’infini, Science et avenir, Hors-série, n° 105 mars 1996.
L’infini autour de Pascal
ARISTOTE, Physique, III, 204, éd. Couloubaritsis, Paris, Vrin, 1999, p. 136 sq.
BLAY Michel et HALLEUX Robert, La science classique, XVIe-XVIIIe siècle. Dictionnaire critique, article Infini (M. Blay), Paris, Flammarion, 1998, p. 563-571.
BRUNO Giordano, De l’infini, de l’univers et des mondes, in Œuvres complètes, IV, éd. G. Aquileccia, Paris, Belles Lettres, 1995.
CHÂTELLIER Louis, Les espaces infinis et le silence de Dieu, Science et religion, XVIe-XVIIe siècle, Paris, Aubier-Flammarion, 2003.
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DUHEM Pierre, Le système du monde, Histoire des doctrines cosmologiques de Platon à Copernic, VII, Paris, Hermann, 1956.
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KOYRÉ Alexandre, Du monde clos à l’univers infini, Paris, Gallimard, 1973.
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Ouvrages relatifs à l’infini chez Pascal
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DESCOTES Dominique, “Espaces infinis égaux au fini”, in Le grand et le petit, CRDP, Clermont-Ferrand, 1990, p. 41-67.
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RIBÉRY Ch., De infinito apud Pascalium, Insulae, apud bibliopolas Le Bigot, 1903.
ROMEO Maria Vita, Il numero e l’infinito. L’itinerario pascaliano dalla scienza alla filosofia, Catania, Cooperative Universitaria Catanese di Magisterion 2004.
L’infini dans l’Antiquité
GARDIES Jean-Louis, Pascal entre Eudoxe et Cantor, Paris, Vrin, 1984.
Aristote sur l’infini
ARISTOTE, Physique, III, 204, éd. Couloubaritsis, Paris, Vrin, 1999, p. 136 sq.
ARISTOTE, De coelo, éd. P. Moraux, Paris, Belles Lettres, 1965, p. LX, Bibliographie.
DUHEM Pierre, Le système du monde, I, p. 177 sq.
GARDIES Jean-Louis, Pascal entre Eudoxe et Cantor, p. 21 sq. L’infini n’est qu’en puissance, simple possibilité d’aller toujours au delà ; ne pas le concevoir comme une totalité : p. 21. Rapport avec Archimède : p. 21-22.
BENEDETTI, Diversarum speculationum liber, p. 181. Utrum bene Aristoteles senserit de infinito.
